.Problema de Gincana: Senos e cossenos

Problema

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Se [tex]sen(x) + cos(x) = m[/tex], então [tex]sen(2x)[/tex] é igual a:

(A) [tex]2m[/tex].

(B) [tex]m^2[/tex].

(C) [tex]m^2 – 1[/tex].

(D) [tex]m – 1[/tex].

(E) [tex]m^2 – m[/tex].

Solução

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Seja [tex]sen(x) + cos(x) = m[/tex]; então segue que:
[tex]\qquad sen(x) + cos(x) = m \\
\qquad(sen(x) + cos(x))^2 = m^2 \\
\qquad sen^2(x) + 2 \cdot sen(x) \cdot cos(x)+cos^2(x) = m^2\\
\qquad \left(sen^2(x) + cos^2(x)\right) + 2 \cdot sen(x) \cdot cos(x) = m^2\,.[/tex]
Como [tex]\boxed{sen(2x) = 2 \cdot sen(x) \cdot cos(x)}\;[/tex] e [tex]\;\boxed{sen^2(x) + cos^2(x) = 1}[/tex], segue, da última igualdade, que
[tex]\qquad 1 + sen(2x) = m^2[/tex],
e, finalmente, concluímos que
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sen(2x) = m^2 – 1$}\,[/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.