.Problema de Gincana: Sequências de Fibonacci

Problema


A sequência de Fibonacci é uma sequência de números naturais na qual os dois primeiros termos são iguais a [tex]1[/tex] e, a partir do terceiro, cada termo é obtido somando os dois termos imediatamente anteriores a ele.
Assim, os primeiros termos da sequência de Fibonacci são [tex]1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, \ldots[/tex]
Observe que nos seis primeiros termos da sequência já aparecem cinco dos dez algarismos: [tex]1,\, 2,\, 3,\, 5 \, [/tex] e [tex] \, 8 \, [/tex] e, na medida que outros termos forem sendo definidos, todos os demais algarismos aparecerão.
Qual dentre os algarismos [tex]0,\, 4,\, 6,\, 7 \, [/tex] e [tex]\,9 \,[/tex] será o último a aparecer como unidade de um termo da sequência de Fibonacci?

Solução


Para responder a essa questão, poderíamos calcular, simplesmente, os termos da sequência de Fibonacci até encontrar o último algarismo a aparecer na casa das unidades:
[tex]\qquad \qquad 1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, 34,\, 55,\, 89,\, 144,\, 233,\, 377,\,\\
\qquad \qquad 610,\, 987,\, 1 \, 597,\, 2 \, 854,\, 4 \, 181,\, 7 \, 035,\, 11 \, 216[/tex]

  • primeiro algarismo que apareceu: [tex]1[/tex];
  • segundo algarismo que apareceu: [tex]2[/tex];
  • terceiro algarismo que apareceu: [tex]3[/tex];
  • quarto algarismo que apareceu: [tex]5[/tex];
  • quinto algarismo que apareceu: [tex]8[/tex];
  • sexto algarismo que apareceu: [tex]4[/tex];
  • sétimo algarismo que apareceu: [tex]9[/tex];
  • oitavo algarismo que apareceu: [tex]7[/tex];
  • nono algarismo que apareceu: [tex]0[/tex];
  • último algarismo que apareceu: [tex]6[/tex].

Mas faríamos contas mais simples, se trabalhássemos, diretamente, com as unidades dos termos da sequência de Fibonacci. Por quê?

– Lembre-se de que cada termo dessa sequência, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois termos imediatamente anteriores a ele. Assim, o algarismo da unidade de um termo da sequência de Fibonacci, a partir do terceiro, é o algarismo da unidade da soma das respectivas unidades dos dois termos imediatamente anteriores ao termo em questão.

Então, a sequência dos algarismos da casa da unidade de cada termo de Fibonacci é:
[tex]\qquad 1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,…[/tex]
já que:

  • [tex]1+1=2[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do terceiro termo da sequência de Fibonacci é [tex]2[/tex];
  • [tex]1+2=3[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do quarto termo da sequência de Fibonacci é [tex]3[/tex];
  • [tex]2+3=5[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do quinto termo da sequência de Fibonacci é [tex]5[/tex];
  • [tex]3+5=8[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do sexto termo da sequência de Fibonacci é [tex]8[/tex];
  • [tex]5+8=13[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do sétimo termo da sequência de Fibonacci é [tex]3[/tex];
  • [tex]8+3=11[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do oitavo termo da sequência de Fibonacci é [tex]1[/tex];
  • [tex]3+1=4[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do nono termo da sequência de Fibonacci é [tex]4[/tex];
  • . . .
  • [tex]7+4=11[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do décimo nono termo da sequência de Fibonacci é [tex]1[/tex];
  • [tex]4+1=5[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do vigésimo termo da sequência de Fibonacci é [tex]5[/tex];
  • [tex]1+5=6[/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do vigésimo primeiro termo da sequência de Fibonacci é [tex]6[/tex].

Observe que nas duas sequências determinamos até o vigésimo primeiro termo, mas as somas da segunda sequência foram muito mais simples de serem obtidas, nem precisamos de calculadora…
De qualquer forma, [tex]6[/tex] é a resposta do problema proposto.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

 

Primeira Gincana de 2015 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Média

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-de-gincana-sequencias-de-fibonacci/