Problema
Um número é dito inteiro algébrico quando ele é raiz de alguma equação polinomial de coeficientes inteiros.
Por exemplo, o 2 é inteiro algébrico, pois é raiz da equação [tex]x – 2 = 0[/tex]; do mesmo modo, [tex]\sqrt{2}[/tex] também é inteiro algébrico, pois é raiz de [tex]x^2 – 2 = 0[/tex].
Prove que [tex]\sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}}[/tex] é um inteiro algébrico.
Solução
Considere [tex]x =\sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}}[/tex] e observe que:
- [tex] x^2 = 2 + \sqrt{3}[/tex];
- [tex] x^2 – 2 = \sqrt{3}[/tex];
- [tex] (x^2 – 2)^2 = (\sqrt{3})^2[/tex];
- [tex] x^4 – 4x^2 + 4 = 3[/tex];
- [tex] x^4 – 4x^2 + 1 = 0[/tex].
Portanto, [tex]\sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}}[/tex] é um inteiro algébrico.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .