.Problemão: Um problema complexo

Problema

Encontre todos os números complexos [tex]z[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad (3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)=2[/tex].

Solução

Inicialmente, multiplique a equação inicial por [tex]4[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]2[/tex]:

[tex]\qquad (3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)=2 \qquad (\times 4) (\times 3) (\times 2)[/tex]

[tex]\qquad (12z+4)(12z+3)(12z+2)(12z+1)=48[/tex].

Agora, chame [tex]12z+1[/tex] de [tex]x[/tex] e, então, a equação fica assim:

[tex]\qquad (x+3)(x+2)(x+1)x=48[/tex],
ou ainda,

[tex]\qquad (x^2+3x)(x^2+3x+2)=48[/tex].

Faça, agora, a substituição de [tex]x^2+3x[/tex] por [tex]a[/tex]. A equação se torna:

[tex]\qquad a(a+2)=48[/tex]

e, dessa forma, [tex]a=-8[/tex] ou [tex]a=6[/tex].

Substituindo esses valores de [tex]a[/tex] na equação [tex]x^2+3x=a[/tex], temos que:

[tex]\qquad x^2+3x=-8~[/tex] e, portanto, [tex]x=\dfrac{-3\pm i\sqrt{23}}{2}[/tex]
ou
[tex]\qquad x^2+3x=6~[/tex] e, então, [tex] x=\dfrac{-3\pm \sqrt{33}}{2}[/tex].
Finalmente, como [tex]x=12z+1[/tex],

  • para [tex]x=\dfrac{-3\pm i\sqrt{23}}{2}\\
    [/tex], segue que:
    [tex]\qquad \dfrac{-3\pm i\sqrt{23}}{2}=12z+1\\
    \qquad 12z=\dfrac{-3\pm i\sqrt{23}}{2}-1\\
    \qquad 12z=\dfrac{-5\pm i\sqrt{23}}{2}\\
    \qquad \boxed{z=\dfrac{-5\pm i\sqrt{23}}{24}_~}\,.[/tex]
  • para [tex]x=\dfrac{-3\pm \sqrt{33}}{2}\\
    [/tex], segue que:
    [tex]\qquad \dfrac{-3\pm \sqrt{33}}{2}=12z+1\\
    \qquad 12z=\dfrac{-3\pm \sqrt{33}}{2}-1\\
    \qquad 12z=\dfrac{-5\pm \sqrt{33}}{2}\\
    \qquad \boxed{z=\dfrac{-5\pm \sqrt{33}}{24_~}}\,.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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