Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Simplifique a expressão:
[tex]\;\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}[/tex].
Lembretes
✐ [tex]\sqrt{a} \cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} [/tex], para quaisquer números reais não negativos [tex]a\,[/tex] e [tex]\,b.[/tex]
✐ Produto da soma pela diferença:
[tex]\qquad \boxed{(m+n) \cdot (m-n)=m^2-n^2}[/tex], para quaisquer [tex]m,n\in\mathbb{R}\,.[/tex]
Solução
Multiplicamos, inicialmente, os dois últimos radicais:
[tex]\qquad \begin{align*}
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}&=
\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right) \cdot \left(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)}\\
&=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)^2~} \\
&=\sqrt{4-\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\\
&=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\,.\end{align*}[/tex]
Agora, multipliquemos o segundo fator da expressão inicial por esse resultado encontrado:
[tex]\qquad \begin{align*}
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}&= \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right) \cdot \left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\\
&= \sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2}\\
&= \sqrt{4-\left(2+\sqrt{3}\right)}\\
&=\sqrt{2-\sqrt{3}}\,.\end{align*}[/tex]
Finalmente, multipliquemos o primeiro fator da expressão dada por esse segundo resultado obtido:
[tex]\qquad \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=1[/tex].
Portanto:
[tex]\;\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=1[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.