Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Consideremos dois números positivos, [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex].
Para cada número real [tex]t[/tex], seja [tex](x_t,y_t)[/tex] o vértice da parábola [tex]y=ax^2+tx+c[/tex].
Qual é o lugar geométrico determinado pelos pontos [tex](x_t,y_t)[/tex]?
Solução
O vértice da parábola de equação [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] é dado por
[tex]\qquad V=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a} \right)[/tex],
então o vértice da parábola [tex]\,y=ax^2+tx+c\,[/tex] será
[tex]\qquad V=\left(-\dfrac{t}{2a},\dfrac{4ac-t^2}{4a} \right)[/tex],
logo,
[tex]\qquad x_t=-\dfrac{t}{2a}[/tex]
e
[tex]\qquad y_t=\dfrac{4ac-t^2}{4a}=c-\dfrac{t^2}{4a}=c-a\left(\dfrac{t}{2a}\right)^2=c-a(x_t)^2[/tex].
A expressão [tex]y=c-a(x_t)^2[/tex] corresponde à equação de uma parábola com concavidade para baixo (já que [tex]a>0[/tex] e, portanto, [tex]-a\lt0[/tex]), com eixo de simetria no eixo das ordenadas e termo independente [tex]c[/tex], que indica onde o gráfico da função intercepta o eixo vertical.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Visualização da solução
Para visualizar on-line casos particulares do problema e respectivas soluções, utilize o applet abaixo.
Você também tem a opção de copiar o arquivo .ggb disponibilizado abaixo e utilizar o applet no GeoGebra do seu computador.