Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Sabendo que [tex]p[/tex] é um número real não nulo e que as três raízes distintas da equação [tex]x^3 + 2px^2 – px + 10 = 0[/tex] formam uma progressão aritmética, determine essas raízes.
Lembretes
Dada uma progressão aritmética [tex](a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)[/tex] de razão [tex]r[/tex]:
- [tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex] O termo geral, [tex]a_{n}[/tex], é dado por [tex]\boxed{a_{n}=a_{1}+ (n-1)\cdot r}[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] [tex]r=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\cdots[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] [tex]a_k=\dfrac{a_{k+1}+a_{k-1}}{2}[/tex], para todo [tex]k\geq 2[/tex]. (Qualquer termo, a partir do segundo, será a média aritmética do seu antecessor com o seu sucessor.)
Solução
Como as três raízes distintas formam uma progressão aritmética, vamos supor que [tex]a, \ \dfrac{a+c}{2}[/tex] e [tex]c[/tex], sejam as raízes da equação. Dessa forma temos:
[tex]\qquad x^3 + 2px^2-px + 10 = (x-a) \left(x-\frac{(a+c)}{2} \right) (x-c)\\
\qquad x^3 + 2px^2-px + 10 = x^3-\dfrac{3\left(a+c\right)}{2}\,x^2+\left(\dfrac{(a+c)^2}{2}+ac\right)x\,-\,\dfrac{ac(a+c)}{2},[/tex]
donde, identificando os coeficientes, obtemos três equações:
[tex]\qquad \dfrac{3(a+c)}{2} = -2p\,,[/tex] [tex]\hspace{1.9cm}[/tex] (1)
[tex]\qquad \dfrac{(a+c)^2}{2}+ac = -p\,,[/tex] [tex]\hspace{1.2cm}[/tex] (2)
[tex]\qquad \dfrac{(a+c)ac}{2} = -10\,.[/tex] [tex]\hspace{1.8cm}[/tex] (3)
Das equações (1) e (3), segue que [tex]ac=\dfrac{15}{p}\, [/tex] e [tex]\, a+c = \dfrac{-4p}{3}[/tex]. Substituindo esses valores na equação (2), obtemos a igualdade [tex]\boxed{16p^3 + 18p^2 + 270 = 0} [/tex], que é equivalente a [tex]\boxed{8p^3 + 9p^2 + 135 = 0}\, .[/tex]
Uma raiz dessa última equação é [tex]p=-3[/tex], então
[tex]\qquad 8p^3 + 9p^2 + 135 = (p + 3) ( 8p^2-15p + 45)[/tex].
Dessa última igualdade, podemos verificar que [tex]\,p=-3\,[/tex] é a única raiz real da equação [tex]\boxed{8p^3 + 9p^2 + 135 = 0} [/tex] (Você saberia justificar essa afirmação?).
Sendo assim, temos [tex]ac = -5\,[/tex] e [tex]\,a + c = 4[/tex], o que nos permite concluir que [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] são [tex]5[/tex] e [tex]-1[/tex].
Portanto, as raízes em progressão são [tex]-1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.