Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Considere a função afim definida por [tex]f(x) = ax+b[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais.
Para que valores de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] temos [tex]f^{2000}(x)=x[/tex]?
Observação: Por definição.
- [tex]f^2(x) = f(f(x))[/tex];
- [tex]f^3(x) = f(f^{2}(x))= f(f(f(x)))[/tex];
. . .
- [tex]f^n(x) = f(f^{n-1}(x)) = f(f(…f(x)…))[/tex].
Solução
Em primeiro lugar, observe que se compomos duas funções afins, obtemos uma função afim cujo coeficiente da variável [tex]x[/tex] é o produto dos coeficientes das variáveis das duas funções usadas na composição.
Com efeito, se as duas funções forem definidas por [tex]f(x)= ax+b\,[/tex] e [tex]\,g(x)=cx+d[/tex], então
[tex]\qquad f(g(x)) = f(cx+d)= a(cx+d)+b = acx+ad+b = (ac)x+(ad+b)[/tex]
ou
[tex]\qquad g(f(x))=g(ax+b)=c(ax+b)+d = cax+cb+d = (ac)x+(cb+d)[/tex]
No caso do problema temos:
- [tex]f^2(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+\underbrace{ab+b}_{k_2}= a^2x+k_2,[/tex]
com [tex]k_2[/tex] uma constante que depende de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]; - [tex]f^3(x)=f(f^2(x))=f(a^2x+k_2)=a(a^2x+k_2)+b=a^3x+\underbrace{ak_2+b}_{k_3} = a^3x+k_3,[/tex]
com [tex]k_3[/tex] uma constante que depende de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]; - [tex]f^4(x)=f(f^3(x))=f(a^3x+k_3)=a(a^3x+k_3)+b=a^4x+\underbrace{ak_3+b}_{k_4} = a^4x+k_4,[/tex]
com [tex]k_4[/tex] uma constante que depende de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex];
e assim sucessivamente.
Então [tex]f^{2000}(x)=a^{2000}x+c[/tex], onde [tex]c[/tex] é um número que depende de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Reescrevendo o problema, como queremos [tex]f^{2000}(x)=x[/tex], devemos ter [tex]\boxed{a^{2000}x+c=x}[/tex]; assim, [tex]a^{2000}=1\,[/tex] e [tex]\,c=0[/tex].
Temos, então, dois possíveis valores para [tex]a[/tex]: [tex]a=1[/tex] ou [tex]a=-1[/tex].
Caso 1: Se [tex]a=1[/tex], então [tex]f(x)=x+b[/tex] e as composições de [tex]f[/tex] são da seguinte forma:
[tex]\qquad f^2(x)=f(f(x))=f(x+b)=(x+b)+b= x+2b[/tex];
[tex]\qquad f^3(x)=f(f^2(x))=f(x+2b)=(x+2b)+b= x+3b[/tex];
[tex]\qquad f^4(x)=f(f^3(x))=f(x+3b)=(x+3b)+b= x+4b[/tex];
[tex]\qquad \qquad \qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad f^{2000}(x)=x+2000b[/tex].
Portanto, de [tex]f^{2000}(x)=x[/tex], segue que [tex]x+2000b=x[/tex] e, com isso, [tex]2000b=0[/tex], ou seja, [tex]b=0[/tex].
Caso 2: Se [tex]a=-1[/tex], [tex]f(x)=-x+b[/tex] e as composições de [tex]f(x)[/tex] agora são da seguinte forma:
[tex]\qquad f^2(x)=f(f(x))=f(-x+b)=-(-x+b)+b=x[/tex];
[tex]\qquad f^3(x)=f(f^2(x))=f(x)=-x+b[/tex];
[tex]\qquad f^4(x)=f(f^3(x))=f(-x+b)=-(-x+b)+b=x[/tex];
[tex]\qquad f^5(x)=f(f^4(x))=f(x)=-x+b[/tex];
[tex]\qquad \qquad \qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad f^{2000}(x)=x[/tex] (pois [tex]2000[/tex] é par).
Portanto, se [tex]a=-1[/tex], então qualquer número real [tex]b[/tex] define uma função [tex]f[/tex] que satisfaz a condição do problema.
Pelo exposto, são infinitas funções afins que satisfazem a condição [tex]f^{2000}(x)=x[/tex]:
- A função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(x)=x[/tex], com [tex]a=1[/tex] e [tex]b=0[/tex].
- As funções [tex]f[/tex] definidas por [tex]f(x)=-x+b[/tex], com [tex]a=-1[/tex] e [tex]b[/tex] um número real qualquer.
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