Problema
Em um triângulo, cada ângulo interno é menor do que a soma dos outros dois ângulos internos restantes.
O que podemos dizer a respeito desse triângulo?
A) Esse triângulo é acutângulo.
B) Esse triângulo é obtusângulo.
C) Esse triângulo é retângulo.
D) As medidas dos lados desse triângulo satisfazem o Teorema de Pitágoras.
E) Nenhuma das respostas anteriores.
Lembrete amigo
A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é [tex]180^\circ.[/tex]
Solução
Sejam [tex]\alpha, \, \beta[/tex] e [tex]\gamma[/tex] as medidas em graus dos ângulos internos do triângulo em questão.
- Do enunciado sabemos que [tex] \, \alpha \lt \beta + \gamma \, [/tex] e, portanto, [tex] \, 2 \alpha \lt \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ . [/tex]
Assim, [tex] \, 2 \alpha \lt 180^\circ \, [/tex], donde [tex] \, \boxed{\alpha \lt 90^\circ}[/tex]. - Do enunciado, temos também que [tex] \, \beta \lt \alpha+ \gamma \, [/tex]; logo, [tex] \, 2 \beta \lt \beta + \alpha + \gamma = 180^\circ . [/tex]
Assim, [tex] \, 2 \beta \lt 180^\circ \, [/tex] e, então, [tex] \, \boxed{\beta \lt 90^\circ}[/tex]. - De maneira análoga, temos que [tex] \, \gamma \lt \alpha+ \beta\, [/tex] e, portanto, [tex] \, 2 \gamma \lt \gamma + \alpha + \beta= 180^\circ . [/tex]
Com isso, [tex] \, 2 \gamma \lt 180^\circ \, [/tex] e [tex] \, \boxed{\gamma \lt 90^\circ}[/tex].
Dessa forma, esse triângulo é um triângulo acutângulo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Media
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