.Problema de Gincana: As moedas de Pedro

Problema

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Quando Pedro quebrou seu cofrinho, não havia mais do que 100 moedas.
Ele dividiu as moedas em pilhas contendo duas moedas em cada, mas sobrou uma moeda.
O mesmo aconteceu quando Pedro dividiu as moedas em pilhas de três, quatro e cinco: sempre sobrava uma moeda.
Nessas condições, a maior quantidade de moedas que havia no cofrinho seria:

A) 41 moedas.

B) 51 moedas.

C) 61 moedas.

D) 71 moedas.

E) 81 moedas.

Solução

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Se tirarmos uma moeda da quantia que Pedro tem, ele ficará com uma quantia entre [tex]0[/tex] e [tex]99[/tex] moedas. O número de moedas restantes pode ser dividido por [tex]2,\, 3,\, 4[/tex] e [tex]5[/tex].
Como [tex]3, \, 4[/tex] e [tex]5[/tex] não possuem fatores comuns, o número de moedas restantes é divisível por [tex]3 \times 4 \times 5 = 60[/tex].
Dos inteiros entre [tex]0[/tex] e [tex]99[/tex] apenas [tex]0[/tex] e [tex]60[/tex] são divisíveis por [tex]60[/tex], logo Pedro tem [tex]1[/tex] ou [tex]61[/tex] moedas.
Observe que, se Pedro tivesse apenas uma moeda, ele não conseguiria dividir suas moedas em pilhas com duas moedas cada, portanto Pedro tem [tex]61[/tex] moedas.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .