.Problema de Gincana: Seis somas

Problema

Considere os números [tex]a \lt b \lt c \lt d[/tex] e observe que, com esses quatro números, podemos formar seis pares.
Sabendo que esses seis pares têm somas diferentes e que as quatro menores somas são [tex]1, 2, 3\,[/tex] e [tex]\,4[/tex], quais são os possíveis valores de [tex]d[/tex]?

A) [tex]\dfrac{7}{2}[/tex] ou [tex]4[/tex].

B) [tex]\dfrac{5}{2}[/tex] ou [tex]4[/tex].

C) [tex]4[/tex] ou [tex]5[/tex].

D) [tex]\dfrac{3}{2}[/tex] ou [tex]4[/tex].

E) Nenhuma das respostas anteriores.

Solução

As seis possíveis somas entre os números [tex]a \, , \, b \, , \, c \, , \, d \, \, [/tex] são [tex] \, \, a+b, \, a+c, \, a+d, \, b+c, \, b+d \, [/tex] e [tex] \, c+d[/tex].

• Como [tex] a \lt b \lt c \lt d[/tex], as menores somas são [tex]a+b=1[/tex] e [tex]a+c=2[/tex]. Com isso, concluímos que [tex]\boxed{c=b+1}.[/tex]
• Das outras quatro somas, as maiores são [tex] \, b+d \, [/tex] e [tex] \, c+d[/tex].
• A respeito das somas restantes, [tex]b+c \, [/tex] e [tex] \, a+d[/tex], sabemos que uma é igual a [tex]3[/tex] e a outra é igual a [tex]4[/tex].

Caso 1: [tex] \,\boxed{ b+c=3}[/tex] e [tex] \,\boxed{a+d=4}[/tex]

Como [tex]c=b+1[/tex], se [tex]b+c=3 [/tex] segue que [tex]2b+1=3[/tex] e, portanto, [tex]b=1.[/tex]
Mas [tex]a+b=1[/tex], então [tex]a=0[/tex]; e, se [tex]a+d=4[/tex], concluímos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d=4$}.[/tex]

Caso 2: [tex] \,\boxed{ b+c=4}[/tex] e [tex] \,\boxed{a+d=3}[/tex]

Como [tex]c=b+1[/tex], se [tex]b+c = 4[/tex] segue que [tex]2b+1=4[/tex] e, portanto, [tex]b=\frac{3}{2}.[/tex]
Mas [tex]a+b=1[/tex], então [tex]a=- \frac{1}{2}[/tex]; e, sendo [tex]a+d=3[/tex], concluímos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d=\frac{7}{2}$}.[/tex]

Logo, os possíveis valores de [tex]d[/tex] são [tex]\frac{7}{2}[/tex] ou [tex]4[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.