Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais distintos tais que [tex]\dfrac{a}{b}+\dfrac{a+10b}{b+10a}=2[/tex], quanto vale [tex]\dfrac{a}{b}[/tex]?
Solução
Inicialmente, multiplicando a igualdade [tex]\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a+10b}{b+10a}=2}\,[/tex] por [tex]\, \boxed{b(b+10a)}[/tex], obtemos
[tex]\qquad a(b+10a)+b(a+10b)=2b(b+10a)[/tex].
Expandindo essa última igualdade, segue que:
[tex]\qquad \boxed{ab+10a^2+ab+10b^2=2b^2+20ab} \Leftrightarrow 10a^2-18ab+8b^2=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow 5a^2-9ab+4b^2=0 \Leftrightarrow 5a^2-5ab-4ab+4b^2=0 \Leftrightarrow \\
\qquad \Leftrightarrow 5a(a-b)-4b(a-b)=0 \Leftrightarrow \boxed{(a-b)(5a-4b)=0}\,.[/tex]
Como todas as igualdades são equivalentes, vamos trabalhar com a última que é a mais simples.
- De [tex](a-b)(5a-4b)=0[/tex], como [tex]a\neq b[/tex], temos que [tex]5a-4b=0[/tex] e, assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{5}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.