Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Determine [tex]10[/tex] números naturais diferentes de modo que sua soma seja um número divisível por cada um desses números. Justifique sua resposta.
Dica: Você pode começar a solução desse problema pensando, inicialmente, em uma sequência de três números naturais.
Solução 1
- Observe que encontrar três números que satisfaçam a condição do problema é fácil: [tex]1, \, 2[/tex] e [tex]3[/tex].
Note que a soma [tex]6[/tex] é divisível por cada uma das parcelas dessa soma. - Vamos agora ampliar a sequência [tex]1, \, 2, \, 3[/tex] e encontrar um quarto número [tex]A[/tex] de modo que a sequência [tex]1, \, 2, \, 3, \, A[/tex] satisfaça as condições do problema. Observe que:
(i) Como queremos que a soma [tex]S_1=1+2+3+A \, [/tex] seja divisível por [tex]1, \, 2[/tex] e [tex]3[/tex], então basta que a soma [tex]S_1[/tex] seja divisível por [tex]6[/tex]. (Convença-se disso.)
Assim, o próprio [tex]A[/tex] deve ser divisível por [tex]6[/tex].
(ii) Além disso, a soma [tex]S_1=6+A[/tex] também deve ser divisível por [tex]A[/tex], e como [tex]6=(6+A)-A=S_1-A[/tex], então [tex]6[/tex] também deve ser divisível por [tex]A[/tex].
Por (i) e (ii), [tex]A=6[/tex].
Note que a soma dos quatro números é [tex]12[/tex] e, portanto, divisível por cada um desses números.
- Vamos, agora, utilizar o mesmo raciocínio para obtermos um quinto número [tex]B[/tex] de modo que a sequência [tex]1, \, 2, \, 3, \, 6, \, B[/tex] satisfaça as condições do problema:
(iii) A soma [tex]S_2=1+2+3+6+B[/tex] deve ser divisível por [tex]1, \, 2, \, 3[/tex] e [tex]6[/tex]; portanto, se [tex]S_2[/tex] for divisível por [tex]12[/tex], então automaticamente será divisível por [tex]1, \, 2, \, 3, \, 6[/tex]. Sendo [tex]S_2=12+B[/tex] divisível por [tex]12[/tex], o próprio [tex]B[/tex] será divisível por [tex]12[/tex], também.
(iv) A soma [tex]S_2=12+B[/tex] também deve ser divisível por [tex]B[/tex]. Mas como [tex]12=(12+B)-B=S_2-B[/tex], então [tex]12[/tex] também deve ser divisível por [tex]B[/tex].
Por (iii) e (iv), [tex]B=12[/tex].
A soma dos cinco números é [tex]24[/tex] e, portanto, divisível por cada um dos cinco números.
- Para obter a sequência de dez números, vamos completar a sequência [tex]1, \, 2, \, 3, \, 6, \, 12[/tex] com um sexto número, em seguida completar a nova sequência com um sétimo número, e assim por diante. Para tanto, se seguirmos um raciocínio análogo ao utilizado teremos, sucessivamente, sequências com seis elementos, com sete , com oito, com nove e, finalmente, conseguiremos listar dez números:
1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
cuja soma é 768. Note que 768 é divisível por cada um dos dez números da sequência!
Portanto, é possível determinar dez números que satisfazem o problema.
Mais do que isso, é possível encontrarmos uma sequência com [tex]n[/tex] elementos de modo que a soma de todos seja divisível por qualquer um desses elementos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 2º ano do E. M.)
Encontrar três números que satisfaçam a condição do problema é fácil: [tex]1, 2[/tex] e [tex]3[/tex]. A soma [tex]6[/tex] é divisível por cada uma das parcelas dessa soma.
Por outro lado, observe que a sequência [tex]1,\, 2, \, 3, \, 2\cdot3, \, 2^2\cdot3, \, \cdots, \, 2^n\cdot 3[/tex] satisfaz as condições do problema, para qualquer número natural [tex]n[/tex], não nulo. Vejamos o porquê:
Lembrando que a soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos de uma PG finita de razão [tex]q[/tex] e termo inicial [tex]a_1[/tex] é dada por
[tex]S_n=\dfrac{a_1+(q^n-1)}{(q-1)}[/tex],
temos que a soma dos termos desta sequência é
[tex]3+3+2\cdot3+\cdots+2^n\cdot3=3+\dfrac{3(2^{n+1}-1)}{2-1}=3+3(2^{n+1}-1)=2^{n+1}\cdot3[/tex].
Ora, este valor é divisível por todos os termos da sequência da forma [tex]2^k\cdot3[/tex], com [tex]1\le k\le n[/tex]; além de ser divisível por [tex]1, \, 2[/tex] e [tex]3[/tex].
Assim sendo, é simples listarmos dez números: [tex]1,\, 2,\, 3,\, 6,\, 12,\, 24,\, 48,\, 96,\, 192,\, 384[/tex], cuja soma é [tex]768[/tex] e é divisível por cada um dos dez números.
Portanto, é possível determinar dez números que satisfazem o problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.