.Problema: Quebrando a cuca com frações

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)


Considere as [tex]2005[/tex] seguintes frações:

[tex]\dfrac{2}{2006}\,, \,\dfrac{3}{2005}\,,\, \dfrac{4}{2004}\,,\, \ldots, \,\dfrac{2004}{4}\,,\, \dfrac{2005}{3}\,,\, \dfrac{2006}{2}.[/tex]

É possível escolher três frações entre as apresentadas de modo que seu produto seja 1?
Justifique sua resposta.

Solução


Observando as frações podemos verificar que a soma do numerador e do denominador é igual a [tex]2008[/tex] para todas elas.

Também observamos que, entre essas frações, encontra-se a fração [tex]\dfrac{1004}{1004}=1[/tex]; assim, tomando as frações

[tex]\, \dfrac{1003}{1005}\, [/tex], [tex]\, \dfrac{1004}{1004}\, [/tex] e [tex]\, \dfrac{1005}{1003}[/tex],

por exemplo, temos três frações entre as 2005 listadas cujo produto é igual a [tex]1[/tex].


Solução elaborada pelo COM MIRIM APRENDIZ, com colaboração dos Moderadores do Blog.

Observação dos Moderadores


Fixando a fração [tex]\dfrac{1004}{1004}[/tex], basta tomarmos duas frações da forma [tex]\, \dfrac{a}{2008-a}\, [/tex] e [tex]\, \dfrac{2008-a}{a}[/tex], com [tex]a[/tex] inteiro, [tex]1 \lt a \lt 2007[/tex] e [tex]a\not=1004[/tex], para obtermos três frações dentre as listadas cujo produto é [tex]1[/tex].

Comprove!

Participou da discussão o Clube MIRIM APRENDIZ.

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