Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dona Conceição saiu à rua com uma cesta de ovos para vender. Ao primeiro freguês que encontrou vendeu um quarto dos ovos e ainda um quarto de um ovo. Depois encontrou outro cliente habitual que ficou com um quinto dos ovos que lhe restavam mais um quinto de ovo. Tendo feito isto sem partir um único ovo, e com lucro suficiente para o dia, Dona Conceição deu-se por satisfeita e distribuiu os ovos restantes aos vizinhos.
Quantos ovos, pelo menos, tinha no início a Dona Conceição?
Solução
A ideia para solucionar este problema é atacá-lo a partir do final dele. Assim, seja [tex]n[/tex] a quantidade restante dos ovos.
Então, se [tex]m[/tex] é a quantidade que sobrou da primeira venda, temos que [tex]m-\frac{1}{5}m-\frac{1}{5}=n[/tex], sendo [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números inteiros positivos.
Isso nos leva a [tex] 4 m = 5 n + 1[/tex].
Assim, temos que os valores possíveis para [tex]n[/tex] pertencem ao conjunto [tex]\{3,7,11,…\}[/tex], o que nos permite concluir que [tex]m[/tex] pertence ao conjunto [tex]\{4,9,14,19,…\}[/tex].
Agora, por raciocínio análogo, se [tex]s[/tex] representa a quantidade de ovos antes da primeira venda, então temos que [tex]s-\frac{1}{4}s-\frac{1}{4}=m[/tex], o que resulta em [tex]3s = 4m + 1[/tex].
Como agora já temos os valores possíveis para [tex]m[/tex], verificamos que o primeiro [tex]m[/tex] possível tal que [tex]4m + 1[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] é [tex]m=14[/tex] e, portanto, [tex]3s = 57[/tex] e [tex]s = 19[/tex], que é a quantidade mínima de ovos que Dona Conceição podia ter em sua cesta.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.