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.Problemão: Calculadora AB

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Uma calculadora diferente tem apenas as teclas numéricas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 1 ao número que aparece no visor. Veja uma forma de obter o 17 na calculadora AB. Podemos digitar o 1 e apertar as teclas A e B na ordem BAAB, como ilustrado abaixo:
1B2A4A16B17
É possível obter o número 48 937 247 493 728 na calculadora AB com a condição de nunca apertar a tecla B mais de uma vez consecutiva?

Solução


Observe como se comportam os dígitos das unidades dos números sob o efeito da tecla A na calculadora AB.
1  A  1
2  A  4
3  A  9
4  A  6
5  A  5
6  A  6
7  A  9
8  A  4
9  A  1

Suponhamos que fosse possível obter o número 48 937 247 493 728 partindo de uma das teclas numéricas de 0 a 9. Então, a última tecla apertada não poderia ser a A, já que apertar esta tecla sempre tem como resultado números que não terminam em 8. Portanto, a última tecla apertada deveria ser a tecla B e o número que estaria no visor antes de apertar essa tecla é o 48 937 247 493 727. Entretanto, como não podemos usar a tecla B mais de uma vez consecutiva, esse número deveria ter sido atingido após o uso da tecla A, mas isso é um absurdo, pois apertar esta tecla sempre tem como resultado números que não terminam em 7. Portanto, não é possível obter o número 48 937 247 493 728 na calculadora AB com a condição de nunca apertar a tecla B mais de uma vez consecutiva.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

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