Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Considere o sistema de equações abaixo:
[tex]\qquad \begin{cases}x^2+y^2=25,\\
xy=12.
\end{cases}[/tex]
Determine as soluções de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] no conjunto dos números reais.
Solução 1
Isolando [tex]x[/tex] na segunda equação do sistema, temos [tex]x = \dfrac{12}{y}.[/tex] Substituindo a expressão de [tex]x[/tex] na primeira equação, ficamos com
[tex]\qquad \left(\dfrac{12}{y}\right)^2+y^2=25[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{144}{y^2}+y^2=25.[/tex]
Multiplicando ambos os membros por [tex]y^2,[/tex] temos
[tex]\qquad 144+y^4=25y^2[/tex]
[tex]\qquad y^4-25y^2+144=0[/tex]
Agora, consideremos [tex]y^2=p,[/tex] daí:
[tex]\qquad p^2-25p+144=0.[/tex]
Usando a fórmula resolutiva para equações do segundo grau, temos
[tex]\qquad p = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},[/tex] onde [tex]a = 1,[/tex] [tex]b = -25[/tex] e [tex]c=144.[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad p = \dfrac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}[/tex]
[tex]\qquad p = \dfrac{25\pm \sqrt{625-576}}{2}[/tex]
[tex]\qquad p = \dfrac{25\pm \sqrt{49}}{2}[/tex]
[tex]\qquad p = \dfrac{25\pm 7}{2},[/tex]
ou seja, as duas raízes de [tex]p[/tex], são [tex]p_1 = \dfrac{25+7}{2}=16[/tex] e [tex]p_2 =\dfrac{25- 7}{2}=9.[/tex]
Não podemos nos esquecer de que [tex]y^2=p.[/tex] Veja que
- [tex]y^2=16\Rightarrow \boxed{y = \pm 4}[/tex] e
- [tex]y^2=9\Rightarrow \boxed{y = \pm 3}.[/tex]
Assim,
- Para [tex]y=-4,[/tex] temos [tex]x = \dfrac{12}{-4}= -3;[/tex]
- Para [tex]y=4,[/tex] temos [tex]x = \dfrac{12}{4} = 3;[/tex]
- Para [tex]y=-3,[/tex] temos [tex]x = \dfrac{12}{-3} = -4;[/tex]
- Para [tex]y=3,[/tex] temos [tex]x = \dfrac{12}{3} = 4.[/tex]
Logo, os valores de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são, ordenadamente, [tex](-4,-3), (4,3), (-3,-4)[/tex] e [tex](3,4).[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Primeiramente, é possível enxergar que estamos lidando com algo muito próximo de um sistema envolvendo quadrados perfeitos. Portanto, começaremos somando as duas igualdades:
[tex]\qquad (x^2 + y^2) + (xy) = 25 + 12 \Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 37.[/tex]
Agora, somando [tex]xy[/tex] de ambos os lados (sabendo que [tex]xy = 12[/tex], somamos [tex]12[/tex] no lado direito da equação), podemos transformar o lado esquerdo em um produto notável e prosseguir:
[tex]\qquad x^2 + 2xy + y^2 = 37 + 12 \Rightarrow (x + y)^2 = 49 \Rightarrow x + y = \pm 7.[/tex]
Agora que sabemos que a soma [tex]x+y[/tex] vale [tex]7[/tex] ou [tex]-7[/tex], fica mais fácil de pensarmos nas soluções possíveis: quais números resultam em [tex]7[/tex] ou [tex]-7[/tex] quando somados, e em [tex]12[/tex] quando multiplicados? Semelhante a resolver uma equação de segundo grau pelo produto de Stevin (soma e produto), rapidamente encontramos os valores [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex]. Porém, como sua soma também pode ser negativa, além de um produto positivo, não excluímos a possibilidade destes serem iguais a [tex]-3[/tex] e [tex]-4[/tex]. Portanto, o conjunto de soluções [tex](x,y)[/tex] deste sistema é [tex]\{ (3,4), (4,3), (-3,-4),(-4,-3) \}.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Potências de Euler.