.Probleminha: Misturando Tintas
Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Para fabricar uma determinada cor, é necessário misturar duas outras cores sempre em quantidades iguais. As cores X e Y são compradas nos fornecedores em latões de [tex]40[/tex] litros e [tex]60[/tex] litros, respectivamente. Ao se abrir um latão de determinada tinta, todo o conteúdo deve ser utilizado apenas no dia em que foi aberto e qualquer sobra deve ser descartada ao terminar o dia. Têm-se disponíveis cem latões de cada uma das duas cores. Quantos latões da tinta Y devem ser utilizados em um único dia de modo que a produção da tinta obtida na mistura seja máxima e não haja sobras?
Solução 1
A cada [tex]40[/tex] litros de X são necessários [tex]40[/tex] litros de Y, o que significa que sobram [tex]20[/tex] litros no latão de Y após utilizarmos todo o conteúdo de um latão de X. Então, a cada [tex]2[/tex] latões de Y, utilizaremos [tex]3[/tex] latões de X, pois as duas sobras completarão a medida de um terceiro latão de X. Assim, não havendo sobras, cada [tex]3[/tex] latões de X deverão ser utilizados com [tex]2[/tex] de Y. O maior múltiplo de [tex]3[/tex] antes do [tex]100[/tex] é o [tex]99[/tex] e [tex]99[/tex] latões de X correspondem a [tex]66[/tex] de Y. Portanto, essa é a quantidade máxima que pode ser utilizada sem sobras. Assim, em um único dia, serão usados [tex]66[/tex] latões de Y.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Com nenhum desperdício, devemos abrir o máximo de latões de cada tinta para assim produzir o máximo de uma terceira tinta, algo que necessita que sejam abertas as mesmas quantidades das tintas X e Y. Como temos mais tinta do tipo Y que do tipo X, descobriremos qual a maior quantidade de latões da tinta Y que podemos abrir de forma que possamos alcançar a mesma quantidade de tinta usando galões cheios da tinta X. Abrindo todos os galões da tinta X conseguimos [tex]40\ L\cdot100=4\ 000\ L[/tex], porém essa quantidade não pode ser obtida com galões de [tex]60\ L[/tex], afinal [tex]60[/tex] não divide [tex]4\ 000[/tex], sendo então a maior quantidade de tinta que podemos alcançar com galões de [tex]60\ L[/tex] menor que [tex]4\ 000\ L[/tex]. Ela é dada quando usamos [tex]\left\lfloor\dfrac{4\ 000}{60}\right\rfloor=66[/tex] galões da tinta Y.
Solução elaborada pelo COM OBM é muito fácil.
Se você não sabe, o
piso de um número real [tex]z[/tex] é o “arredondamento de [tex]z[/tex] para baixo” e é denotado por [tex] \left \lfloor z \right \rfloor.[/tex]
Assim, se [tex]z[/tex] é um número real, o piso de [tex]z[/tex] é o único número inteiro [tex] \left \lfloor z \right \rfloor [/tex] tal que [tex] \left \lfloor z \right \rfloor \le z \lt \left \lfloor z \right \rfloor +1[/tex].
Por exemplo:
[tex] \qquad\qquad[/tex]o piso de [tex]6,58[/tex] é [tex]6[/tex];
[tex] \qquad\qquad[/tex]o piso de [tex]0,14[/tex] é [tex]0[/tex];
[tex] \qquad\qquad[/tex]o piso de [tex]231,21[/tex] é [tex]231[/tex];
[tex] \qquad\qquad[/tex]o piso de [tex]9[/tex] é [tex]9[/tex].
Em símbolos,
[tex] \qquad\qquad \left \lfloor 6,58 \right \rfloor=6 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 0,14 \right \rfloor=0 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 231,21 \right \rfloor=231 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 9 \right \rfloor=9 [/tex].
Participaram da discussão os Clubes: LAPLACES; Lógicos; OBM é muito fácil; Sociedade de Hilbert.
