.Problemão: Apenas soluções inteiras

Problema
(Indicado a partir da 3ª série do E. M.)

Extraído de OMU.

Solução

Considerando $x\neq-5$, podemos dividir ambos os lados por $x+5$, obtendo $\dfrac{8x^3-x-13}{x+5}=y.$

Como $y$ é inteiro, o lado esquerdo da equação deve ser inteiro. Realizando a divisão de polinômios, temos:

$\dfrac{(8x^2-40x+199)(x+5)-1008}{x+5}=8x^2-40x+199-\dfrac{1008}{x+5}=y$

Logo $\dfrac{1008}{x+5}=y-8x^2+40x-199.$

Como o lado direito da igualdade é inteiro, o lado esquerdo também deve ser.

Para que $\dfrac{1008}{x+5}$ seja inteiro, então $x+5$ deve ser divisor de $1008=2^4\cdot3^2\cdot7$.

Esse número possui $5\cdot3\cdot2=30$ divisores naturais. Contando os divisores negativos, há $60$ divisores inteiros. Como cada um deles está associado a $x$ de modo linear ($x+5$ = divisor de $1008$), então cada divisor de $1008$ gera um $x$ distinto. Assim, nesse caso há $60$ soluções de pares inteiros $(x, y)$.

Considerando agora o segundo caso, no qual $x=-5$, temos

$8\cdot(-5)^3-5y+5+5y-13=0\therefore-1008=0$, um absurdo.

Logo, as únicas soluções inteiras para o problema são as do primeiro caso. Desse modo, há $60$ pares $(x,y)$ de inteiros que são soluções do problema.

Solução elaborada pelo COM Koreil Guys, com contribuições dos moderadores do Blog.