Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Pode-se verificar por substituição que [tex]x=10[/tex] é uma raiz da equação
[tex]\qquad{10^5x^{\log x}=x^6.}[/tex]
Existe mais uma raiz real. Encontre-a.
Solução
Basta aplicar o logaritmo decimal aos dois membros da equação e usar algumas propriedades dos logaritmos
[tex]\qquad{\log \left(10^5x^{\log x}\right)=\log \left(x^6\right).}[/tex]
[tex]\qquad{5\log 10 +(\log x)(\log x)=6\log x.}[/tex]
Fazendo a mudança de incógnita [tex]X=\log x[/tex] e observando que [tex]\log 10=1[/tex] temos
[tex]\qquad{5+X^2=6X,}[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad{X^2-6X+5=0.}[/tex]
Aplicando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau, obtemos [tex]X=1[/tex] ou [tex]X=5[/tex]. Assim, [tex]\log x=1[/tex], o que leva à conhecida solução [tex]x=10[/tex], ou [tex]\log x=5[/tex], dando a solução [tex]x=10^5=100000[/tex].
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