Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Sabe-se que [tex]x=2[/tex] é uma raiz da equação
[tex]\qquad{\left(2x-\dfrac{2}{x}\right)^3-2\left(2x-\dfrac{2}{x}\right)^2-\left(2x-\dfrac{2}{x}\right)-6=0.}[/tex]
Encontre mais uma raiz real para esta equação.
Solução
Observe que quando [tex]x=2[/tex] a expressão [tex]2x-\dfrac{2}{x}[/tex] tem valor [tex]2\cdot 2-\dfrac{2}{2}=3[/tex]. Então, como [tex]x=2[/tex] é uma solução da equação segue que
[tex]\qquad{3^3-2\cdot 3^2-3-6=0.}[/tex]
Basta encontrar outro valor para [tex]x[/tex] tal que
[tex]\qquad{2x-\dfrac{2}{x}=3.}[/tex]
Como [tex]x=0[/tex] não é uma solução desta última equação, podemos multiplicá-la por [tex]x[/tex] para obter a equação equivalente
[tex]\qquad{2x^2-3x-2=0.}[/tex]
Aplicando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau, encontramos as raízes [tex]x=2[/tex] e [tex]x=-\dfrac{1}{2}[/tex]. Logo, [tex]x=-\dfrac{1}{2}[/tex] também é uma solução para a equação inicial.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.