Vamos calcular o determinante de cada uma das matrizes. Utilizando a regra de Sarrus, temos
[tex]\qquad \det M = 0-2+36+12-0-15 = 31[/tex];
[tex]\qquad \det M^t = 0+36-2+12-0-15 = 31[/tex].
Portanto, [tex]\det M = \det M^t[/tex].
2) Fila nula
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex], tal que esta possui uma fila (linha ou coluna) com todos os elementos iguais a [tex]0[/tex]. Então [tex]\det M =0[/tex].
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a linha [tex]i[/tex] da matriz seja nula, ou seja,
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)n}\\
0 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Aplicando o teorema de Laplace na fila nula, temos
[tex]\qquad \det M = 0\cdot C_{i1}+0\cdot C_{i2}+\cdots +0\cdot C_{in}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det M = 0}.[/tex]
3) Multiplicação de uma fila por uma constante
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Se multiplicarmos uma fila de [tex]M[/tex] por uma constante [tex]k[/tex] (obtendo uma matriz [tex]M'[/tex]), então [tex]\det M’ = k\cdot \det M[/tex].
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a fila multiplicada pela constante, na matriz [tex]M[/tex], tenha sido a coluna [tex]j[/tex], ou seja,
se [tex]M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}&\cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}&\cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj}&\cdots & a_{nn}
\end{bmatrix},[/tex]
então [tex]M’ = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & ka_{1j}&\cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & ka_{2j}&\cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & ka_{nj}&\cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Aplicando o teorema de Laplace na coluna [tex]j[/tex], obtemos
4) Troca de filas paralelas
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de [tex]M[/tex], (obtendo uma matriz [tex]M'[/tex]), então [tex]\det M’ = -\det M[/tex].
Exemplo: Considere [tex]M=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4 \\
5 & 0 & -3 \\
-6 & 2 & 7 \\
\end{bmatrix}[/tex] e [tex]M’ = \begin{bmatrix}
5 & 0 & -3 \\
1 & -2 & 4 \\
-6 & 2 & 7 \\
\end{bmatrix}[/tex]. Se observarmos, [tex]M'[/tex] é obtida a partir de [tex]M[/tex], trocando-se as duas primeiras linhas.
Agora, veja que
[tex]\qquad \det M = 0-36+40+6+70+0 = 80;[/tex]
[tex]\qquad \det M’ = -70-0-6-40-0+36 = -80.[/tex]
Logo, [tex]\det M’ = -\det M[/tex].
5) Filas paralelas iguais
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Se [tex]M[/tex] possui duas filas paralelas iguais, então [tex]\det M = 0[/tex].
6) Filas paralelas proporcionais
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Se [tex]M[/tex] possui duas filas paralelas proporcionais, então [tex]\det M = 0[/tex].
Suponhamos, sem perda de generalidade, que as colunas [tex]i[/tex] e [tex]j[/tex] (com [tex]i\lt j[/tex]) da matriz sejam proporcionais, sendo a j-ésima coluna igual ao produto de uma constante [tex]k[/tex] pela i-ésima coluna, conforme representado abaixo:
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1j-1} & k \cdot a_{1i} & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2j-1} & k \cdot a_{2i} & a_{2j+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nj-1} & k \cdot a_{ni} & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}.[/tex]
Como você pode notar, os elementos da segunda linha correspondem aos elementos da quinta linha multiplicados por [tex]-3[/tex]. Portanto, [tex]\det M = 0[/tex].
7) Adição de determinantes
Considere uma matriz [tex]M[/tex] de ordem [tex]n[/tex] qualquer, onde os elementos da j-ésima coluna possam ser escritos como a soma de dois termos, conforme segue:
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1j}+c_{1j}&\cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2j}+c_{2j}&\cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{nj}+c_{nj}&\cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Vamos iniciar a verificação da validade dessa propriedade aplicando o teorema de Laplace à j-ésima coluna da matriz [tex]M[/tex]. Assim,
[tex]\qquad \begin{align}
\det M &= (b_{1j}+c_{1j})\cdot C_{1j}+(b_{2j}+c_{2j})\cdot C_{2j}+\cdots +(b_{nj}+c_{nj})\cdot C_{nj}\\
&= b_{1j}\cdot C_{1j}+c_{1j}\cdot C_{1j}+b_{2j}\cdot C_{2j}+c_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots +b_{nj}\cdot C_{nj}+c_{nj}\cdot C_{nj}\\
&= (b_{1j}\cdot C_{1j}+b_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots+b_{nj}\cdot C_{nj})+(c_{1j}\cdot C_{1j}+c_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots +c_{nj}\cdot C_{nj}).
\end{align}[/tex]
Vale lembrar que cada [tex]C_{ij}[/tex] (com [tex]1\leq i\leq n[/tex]) da expressão acima corresponde ao cofator do elemento que se encontra na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz [tex]M[/tex]; mas, como os elementos das demais linhas e colunas nas matrizes [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são iguais aos da matriz [tex]M[/tex], então [tex]C_{ij}[/tex] representa também o cofator do elemento que se encontra na i-ésima linha e j-ésima coluna das matrizes [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex]. Portanto, retornando à expressão do determinante de [tex]M[/tex], temos
[tex]\qquad \det M = (b_{1j}\cdot C_{1j}+b_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots+b_{nj}\cdot C_{nj})+(c_{1j}\cdot C_{1j}+c_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots +c_{nj}\cdot C_{nj})[/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det M = \det B+\det C}.[/tex]
A propriedade acima também é válida para o caso em que os elementos de uma linha aparecem expressos como a soma de dois termos.
Sua demonstração consiste em usarmos a propriedade 1), e então caímos no caso anterior, que já foi demonstrado.
Antes de avançarmos para a próxima propriedade, é importante entendermos o conceito de combinação linear de filas paralelas de uma matriz. Esse conceito nos permite expressar uma linha(ou coluna) da matriz como uma combinação ponderada das outras filas paralelas a ela. Em outras palavras, podemos representar uma linha (ou coluna) como uma ‘mistura’ de outras linhas (ou colunas) da matriz.
Repare que os elementos da primeira coluna dessa matriz correspondem à soma dos elementos da segunda e terceira colunas, multiplicadas por [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex], respectivamente. Veja:
[tex]\qquad \begin{bmatrix}
4 \\
-1 \\
5 \\
\end{bmatrix} = 1\cdot \begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-3 \\
\end{bmatrix}+2\cdot \begin{bmatrix}
3 \\
0 \\
4 \\
\end{bmatrix}
[/tex].
Sempre que uma coluna (ou linha) de uma matriz puder ser representada em termos de outras colunas (ou linhas) da mesma matriz, conforme vimos acima, dizemos que tal coluna (ou linha) é uma combinação linear dessas últimas.
Seja [tex]M = (a_{ij})_{n\times n}[/tex] uma matriz quadrada de ordem [tex]n[/tex]. Dizemos que a coluna [tex]c[/tex] é combinação linear das colunas [tex]c_1, c_2, \cdots, c_m[/tex], se existirem números reais [tex]k_1, k_2, \cdots, k_m[/tex], tais que os elementos da coluna [tex]c[/tex] dessa matriz correspondem à soma dos elementos das colunas [tex]c_1, c_2, \cdots, c_m[/tex], multiplicadas por [tex]k_1, k_2, \cdots, k_m[/tex], respectivamente, ou seja, se
De maneira análoga define-se combinação linear entre linhas de uma matriz. Assim, na matriz
a linha [tex]l[/tex] é combinação linear das linhas [tex]l_1, l_2, \cdots, l_m[/tex].
Agora que já conhecemos o conceito de combinação linear, podemos apresentar a propriedade 8.
8) Teorema da combinação linear
Se uma matriz [tex]M[/tex] de ordem [tex]n[/tex] qualquer possui uma coluna (ou linha) como sendo combinação linear de outras colunas (ou linhas), então [tex]\det M=0[/tex].
Iremos verificar a validade dessa propriedade para o caso em que uma coluna é combinação linear de outras, mas a demonstração para o caso em que uma linha é combinação linear de outras é inteiramente análoga.
Suponhamos, que a coluna [tex]c[/tex] é combinação linear das colunas [tex]c_1, c_2, \cdots, c_m[/tex]. Pelo que vimos anteriormente do conceito de combinação linear, existem constantes [tex]k_1, k_2, \cdots, k_m[/tex], tais que
[tex]\qquad \begin{bmatrix}
a_{1c} \\
a_{2c}\\
\vdots \\
a_{nc}\\
\end{bmatrix} = k_1\cdot \begin{bmatrix}
a_{1c_1} \\
a_{2c_1}\\
\vdots \\
a_{nc_1}\\
\end{bmatrix}+k_2\cdot \begin{bmatrix}
a_{1c_2} \\
a_{2c_2}\\
\vdots \\
a_{nc_2}\\
\end{bmatrix}+\cdots +k_m\cdot \begin{bmatrix}
a_{1c_m} \\
a_{2c_m}\\
\vdots \\
a_{nc_m}\\
\end{bmatrix}
[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots& a_{1c}&\cdots & a_{1c_1}& \cdots&a_{1c_2}&\cdots &a_{1c_m}& \cdots &a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots& a_{2c}&\cdots & a_{2c_1}& \cdots&a_{2c_2}&\cdots &a_{2c_m}& \cdots &a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\ddots & \vdots& \ddots&\vdots&\ddots &\vdots& \ddots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots& a_{nc}&\cdots & a_{nc_1}& \cdots&a_{nc_2}&\cdots &a_{nc_m}&\cdots& a_{nn}
\end{bmatrix},[/tex]
onde
A seguir apresentamos uma das propriedades mais importantes de determinantes, que é o Teorema de Jacobi, uma contribuição marcante do renomado matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi (1804 – 1851).
9) Teorema de Jacobi
Seja [tex]M[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Se adicionarmos a uma fila qualquer o produto de uma constante [tex]k[/tex] por uma outra fila paralela, obtendo uma matriz [tex]M'[/tex], então [tex]\det M’ = \det M[/tex].
Iremos verificar a validade dessa propriedade para o caso em que as filas em questão são linhas da matriz, mas a demonstração para o caso de serem colunas é inteiramente análoga.
Seja [tex]M = (a_{ij})_{n\times n}[/tex], e suponha que vamos adicionar à q-ésima linha o produto de [tex]k[/tex] pela p-ésima linha. Assim,
[tex]\qquad M’ = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{p1} & a_{p2} & \cdots & a_{pn}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{q1}+k\cdot a_{p1} & a_{q2}+k\cdot a_{p2} & \cdots & a_{qn}+k\cdot a_{pn}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Observe que
[tex]\qquad M’ = \begin{bmatrix}
-2 & 4 & 1 \\
3 & -5 & 2 \\
3 & -8 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{blue}{-2} & \textcolor{magenta}{4} & \textcolor{teal}{1} \\
3 & -5 & 2 \\
-1-2\cdot (\textcolor{blue}{-2}) & 0-2\cdot \textcolor{magenta}{4} & 6-2\cdot \textcolor{teal}{1} \\
\end{bmatrix}[/tex],
ou seja, a matriz [tex]M'[/tex] é gerada a partir da matriz [tex]M[/tex], adicionando-se à terceira linha o produto de [tex]-2[/tex] pela primeira linha.
Logo,
[tex]\qquad \det M’ = \det M[/tex].
10) Matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]M[/tex] seja uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a [tex]0[/tex]. Dessa forma,
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0& \cdots & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0& \cdots & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0& \cdots & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}& \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4}& \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Ao longo desta demonstração, denotaremos por [tex]C_{ij}[/tex] não necessariamente o cofator do elemento que se encontra na i-ésima linha e j-ésima coluna, mas sim o cofator do elemento [tex]a_{ij}[/tex].
Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha da matriz [tex]M[/tex], obtemos
[tex]\qquad \det M = a_{11}\cdot C_{11}+0\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}+0\cdot C_{14}+\cdots+0\cdot C_{1n}[/tex]
[tex]\qquad \det M = a_{11}\cdot C_{11}[/tex]
[tex]\qquad \det M = a_{11}\cdot(-1)^{1+1} D_{11}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det M = a_{11}\cdot D_{11}},[/tex]
onde
[tex]\qquad D_{11} = \begin{vmatrix}
a_{22} & 0 & 0& \cdots & 0\\
a_{32} & a_{33} & 0& \cdots & 0\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}& \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n2} & a_{n3} & a_{n4}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}.[/tex]
Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha da matriz representada em [tex]D_{11}[/tex], obtemos
[tex]\qquad D_{11} = a_{22}\cdot C_{22}+0\cdot C_{23}+0\cdot C_{24}+0\cdot C_{25}+\cdots+0\cdot C_{2n}[/tex]
[tex]\qquad D_{11} = a_{22}\cdot C_{22}.[/tex]
Denotando por [tex]D_{22}[/tex] o determinante da matriz representada em [tex]D_{11}[/tex], retiradas a primeira linha e primeira coluna, ficamos com
[tex]\qquad D_{11} = a_{22}\cdot(-1)^{1+1} D_{22}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{D_{11} = a_{22}\cdot D_{22}},[/tex]
onde
[tex]\qquad D_{22} = \begin{vmatrix}
a_{33} & 0 & 0& \cdots & 0\\
a_{43} & a_{34} & 0& \cdots & 0\\
a_{53} & a_{44} & a_{44}& \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n3} & a_{n4} & a_{n5}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}.[/tex]
Mais uma vez, aplicando o teorema de Laplace na primeira linha da matriz representada em [tex]D_{22}[/tex], obtemos
[tex]\qquad D_{22} = a_{33}\cdot C_{33}+0\cdot C_{34}+0\cdot C_{35}+0\cdot C_{36}+\cdots+0\cdot C_{3n}[/tex]
[tex]\qquad D_{22} = a_{33}\cdot C_{33}.[/tex]
Denotando por [tex]D_{33}[/tex] o determinante da matriz representada em [tex]D_{22}[/tex], retiradas a primeira linha e primeira coluna, ficamos com
[tex]\qquad D_{22} = a_{33}\cdot(-1)^{1+1} D_{33}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{D_{22} = a_{33}\cdot D_{33}},[/tex]
onde
[tex]\qquad D_{33} = \begin{vmatrix}
a_{44} & 0 & 0& \cdots & 0\\
a_{54} & a_{55} & 0& \cdots & 0\\
a_{64} & a_{65} & a_{66}& \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n4} & a_{n5} & a_{n6}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}.[/tex]
Continuando recursivamente esse processo de obtenção de [tex]D_{mm}[/tex], obtemos
[tex]\qquad \boxed{D_{n-2\;n-2} = a_{n-1\;n-1}\cdot D_{n-1\;n-1}}, [/tex]
e então
[tex]\qquad \boxed{D_{n-1\;n-1} = a_{nn}}.[/tex]
Substituindo umas nas outras as expressões destacadas ao longo da demonstração, obtemos
[tex]\qquad \begin{align}\det M &= a_{11}\cdot D_{11}\\
&= a_{11}\cdot (a_{22}\cdot D_{22})\\
&= a_{11}\cdot a_{22}\cdot (a_{33}\cdot D_{33})\\
& \hspace{2.5mm} \vdots\\
&= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot \cdots \cdot (a_{n-1\;n-1}\cdot D_{n-1\;n-1})\\
&= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot \cdots \cdot a_{n-1\;n-1}\cdot a_{nn},
\end{align}[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad \det M = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot \cdots \cdot a_{n-1\;n-1}\cdot a_{nn}.[/tex]
Logo, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
A próxima propriedade se trata do Teorema de Binet, uma das contribuições mais significativas do renomado matemático francês Jacques Philippe Marie Binet (1786 – 1856).
11) Teorema de Binet
Se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são duas matrizes quaisquer de ordem [tex]n[/tex], então [tex]\det (A\cdot B) = (\det A)\cdot (\det B)[/tex].
Exemplo: Sendo [tex]A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}[/tex] e [tex]B = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}[/tex], temos
[tex]\qquad \det A = 2\cdot 4-(-3)\cdot 1 = 11[/tex]; e
[tex]\qquad \det B = (-1)\cdot (-2)-5\cdot 3 = -13.[/tex]
E então,
[tex]\qquad \det (A\cdot B) = (-11)\cdot (-3)-16\cdot 11 = -143 = 11\cdot (-13)=(\det A)\cdot (\det B).[/tex]
Logo,
[tex]\qquad \det (A\cdot B) = (\det A)\cdot (\det B)[/tex].
O teorema de Binet apresentado imediatamente acima é válido para qualquer quantidade de matrizes. Assim, dadas [tex]n[/tex] matrizes quadradas [tex]M_1, M_2, M_3, \cdots, M_n[/tex], temos
[tex]\qquad \det (M_1\cdot M_2\cdot M_3 \cdots M_n)= (\det M_1)\cdot (\det M_2)\cdot (\det M_3)\cdots (\det M_n).[/tex]
Agora que já apresentamos as propriedades fundamentais dos determinantes, avançaremos para a Regra de Chió. Esta regra, nomeada em homenagem ao matemático italiano Felice Chiò (1813 – 1871), oferece um método bastante útil para calcular determinantes de matrizes quadradas de ordem [tex]n\geq 2[/tex]. A importância da regra de Chió está na sua simplicidade, proporcionando uma abordagem sistemática para resolver determinantes sem a necessidade de expansão por cofatores. Vamos agora explorar os detalhes desta regra, bem como sua aplicação prática.
