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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Ao adicionarmos ao numerador e ao denominador de uma fração, escrita na forma irredutível, a quarta parte do denominador, o valor dessa fração aumenta em sua sétima parte.
Que fração é essa?
Solução
Seja [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] a forma irredutível da fração em questão.
De acordo com os dados do problema, temos que [tex]\boxed{\dfrac{a+\frac{b}{4}}{b+\frac{b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{a}{b}\right)}.[/tex] Assim, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{a+\frac{b}{4}}{b+\frac{b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{a}{b}\right)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{\frac{4a+b}{4}}{\frac{5b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{7b}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{\frac{4a+b}{\cancel{4}}}{\frac{5b}{\cancel{4}}}=\dfrac{8a}{7b}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{4a+b}{5b}=\dfrac{8a}{7b}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{4a+b}{5\cancel{b}}=\dfrac{8a}{7\cancel{b}}[/tex]
[tex]\qquad 7\left(4a+b\right)=40a[/tex]
[tex]\qquad 28a+7b=40a[/tex]
[tex]\qquad 12a=7b[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{12}.[/tex]
Como [tex]mdc(7,12)=1[/tex], a forma irredutível da fração que atende às condições do problema é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{7}{12}$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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