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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
Considere
- [tex]a=\left(1-cos\, x\right)\cdot \left(1+sen\, x\right)[/tex],
- [tex]b=\left(1+cos\, x\right)\cdot\left(1-sen\, x\right)[/tex],
- [tex]E=cos^2x-cos^4x+2-sen(2x)[/tex].
Escreva a expressão [tex]E[/tex] em termos de [tex]a\, [/tex] e [tex]\, b.[/tex]
Lembretes
Identidades trigonométricas que serão utilizadas na solução do problema:
[tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] [tex]sen^2\, x +cos^2\,x =1[/tex] (Relação fundamental da trigonometria).
[tex] \textcolor{#800000}{(2)} \, sen(2x)=2\cdot sen\,x \cdot cos\,x[/tex] (Seno do arco duplo).
Solução
Inicialmente, vamos reescrever a expressão [tex]E[/tex], de modo a não trabalharmos com [tex]cos^4x[/tex]:
[tex]\qquad E=cos^2x-cos^4x+2-sen(2x)[/tex]
[tex]\qquad E=cos^2x\left(1-cos^2x\right)+2-sen(2x)[/tex]
[tex]\qquad E=cos^2x \cdot sen^2x+2-sen(2x).[/tex] (Aqui utilizamos a identidade [tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] dos Lembretes)
Para facilitar o entendimento, vamos trabalhar separadamente com as duas parcelas da expressão [tex]E[/tex] destacadas a seguir:
[tex]\qquad E=\textcolor{red}{\left(cos^2x \cdot sen^2x\right)}+\textcolor{blue}{\left(2-sen(2x)\right)}.\qquad \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
- Utilizando duas vezes a identidade [tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] dos Lembretes, obtemos que:
[tex]\;\begin{align*}\textcolor{red}{cos^2x \cdot sen^2x}&=\left(1-sen^2x\right)\cdot \left(1-cos^2x\right)\\
&=\left(1^2-sen^2x\right)\cdot \left(1^2-cos^2x\right)\\
&=\left[\left(1-sen\,x \right)\cdot\left(1+sen\, x\right)\right]\cdot \left[\left(1-cos\,x \right)\cdot\left(1+cos\, x\right)\right]\\
&=\left(1-cos\,x \right) \cdot \left(1+sen\, x\right) \cdot \left(1+cos\, x\right) \cdot \left(1-sen\,x \right)\\
&=\left[\left(1-cos\,x \right) \cdot \left(1+sen\, x\right)\right] \cdot \left[\left(1+cos\, x\right) \cdot \left(1-sen\,x \right)\right]\\
&=\textcolor{red}{a \cdot b}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{align*}[/tex] - Agora, vamos desenvolver os produtos que definem [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]:
[tex]\quad a=\left(1-cos\, x\right)\cdot \left(1+sen\, x\right)[/tex]
[tex]\quad a=1+sen\, x-cos\, x-cos\, x\cdot sen\, x[/tex]
e
[tex]\qquad b=\left(1+cos\, x\right)\cdot\left(1-sen\, x\right)[/tex]
[tex]\qquad b=1-sen\, x+cos\, x-cos\, x\cdot sen\, x.[/tex]
Dessa forma,
[tex]\; a+b=\left(1+sen\, x-cos\, x-cos\, x\cdot sen\, x \right)+\left( 1-sen\, x+cos\, x-cos\, x\cdot sen\, x\right)[/tex]
[tex]\; a+b=2-2\cdot cos\, x\cdot sen\, x[/tex]
[tex]\; a+b=2-sen(2x)[/tex] (Aqui utilizamos a identidade [tex] \textcolor{#800000}{(2)}[/tex] dos Lembretes)
e, portanto,
[tex] \qquad \textcolor{blue}{2-sen(2x)=a+b}. \qquad \quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Finalmente, por [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] , [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] , temos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=a\cdot b+a+b$}\, .[/tex]
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