Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Qual é o número mínimo de vezes que devemos lançar um dado para termos ao menos [tex]50 \%[/tex] de chance de obter pelo menos um [tex]6[/tex]?
Extraído de Prakash Gorroochurn. Classic Problems of Probability.
Solução
Seja [tex]n[/tex] um número natural e considere [tex]A_n[/tex] como sendo o evento “não aparece [tex]6[/tex] em [tex]n[/tex] lançamentos”. Como os lançamentos são independentes, temos [tex]P(A_n)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^n[/tex]. Assim, a probabilidade de obtermos pelo menos um [tex]6[/tex] em [tex]n[/tex] lançamentos será dada por
[tex]\qquad P(A_n^c)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n.[/tex]
Para alguns valores de [tex]n[/tex], calculamos:
[tex]\qquad P(A_1^c)=1-\dfrac{5}{6}\approx 0,1667[/tex]
[tex]\qquad P(A_2^c)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^2\approx 0,3056[/tex]
[tex]\qquad P(A_3^c)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^3\approx 0,4213[/tex]
[tex]\qquad P(A_4^c)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4\approx 0,5177.[/tex]
Logo, são necessários pelo menos [tex]4[/tex] lançamentos para que a probabilidade de obtermos pelo menos um [tex]6[/tex] seja igual ou superior a [tex]50\%[/tex] .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.