(A) Problema para ajudar na escola: Maior e menor

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

Qual o maior inteiro [tex]x[/tex] que satisfaz simultaneamente as duas desigualdades do sistema abaixo? E o menor?

[tex]\begin{cases}
10(x+1) \leq 6(2x+1)-x\\
\, \, \\
4(x-10)+6x \lt -6(2-x)
\end{cases}[/tex]

Solução

Para obter a solução desse sistema composto de duas desigualdades, vamos resolver cada uma delas separadamente e fazer a intersecção das duas soluções, já que o sistema indica que as duas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.

► [tex]10(x+1) \leq 6(2x+1)-x[/tex]
A sequência de equivalências a seguir nos fornece a solução da desigualdade em questão:
[tex]\qquad 10(x+1) \leq 6(2x+1)-x \iff 10x+10 \leq 12x+6-x \iff \\
\qquad\iff 4 \leq x \iff \boxed{x \geq 4}\,.[/tex]
A solução dessa desigualdade no conjunto dos números reais pode ser representada graficamente, conforme indicado na figura a seguir.

► [tex]4(x-10)+6x \lt -6(2-x)[/tex]
A sequência de equivalências a seguir nos fornece a solução desta desigualdade:
[tex]\qquad 4(x-10)+6x \lt -6(2-x) \iff 4x-40+6x \lt -12+6x \iff \\
\qquad \iff 4x \lt 28 \iff \boxed{x \lt 7} \;.
[/tex]
A solução dessa desigualdade no conjunto dos números reais está representada graficamente na figura a seguir.

Vamos comparar as duas soluções para obter a solução do sistema no conjunto dos números reais.

Portanto, a solução do sistema em [tex]\mathbb{R}[/tex] é o seguinte conjunto: [tex]\{x\in \mathbb{R} \text{ tais que } 4 \leq x \lt 7\}.[/tex] Esse conjunto é denotado por [tex][4 \, , \, 7[.[/tex]

Finalmente, já podemos solucionar o problema e determinar o maior inteiro e o menor inteiro que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades do sistema.

• Maior inteiro: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=6$} \, .[/tex]
• Menor inteiro: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=4$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.