(A) Problema para ajudar na escola: Uma soma de quadrados

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

Determinar de quantas maneiras podemos escrever [tex]2003 [/tex] como soma dos quadrados de dois números naturais não nulos.

Solução 1

Sejam [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] números naturais não nulos que satisfaçam as condições do problema. Assim, [tex]x^2+y^2=2003.[/tex]

• Como [tex]2003[/tex] é um número ímpar, então as propriedades elencadas na Ajuda apontam que [tex]x^2[/tex] e [tex]y^2[/tex] têm paridades opostas (veja a tabelinha da esquerda).
• Mas a tabelinha da direita mostra que o quadrado de um número mantém a sua paridade; assim, [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] têm paridades contrárias.

Vamos supor, sem perda de generalidade, que [tex]x[/tex] seja um número par e [tex] \, y[/tex] seja um número ímpar. Dessa forma, existem números naturais [tex]m \, [/tex] e [tex] \, n \, [/tex], com [tex] \, n\ne 0[/tex], tais que [tex] \, \boxed{x=2n} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{y=2m+1}[/tex], donde segue que:
[tex]\qquad x^2+y^2=2003[/tex]
[tex]\qquad (2n)^2+(2m+1)^2=2003[/tex]
[tex]\qquad 4n^2+4m^2+4m+1=2003[/tex]
[tex]\qquad 4\left(n^2+m^2+m\right)+1=2003[/tex]
[tex]\qquad 4\left(n^2+m^2+m\right)=2002. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Perceba que se [tex]k=n^2+m^2+m[/tex], então de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que [tex]2002=4k[/tex], com [tex]k\in \mathbb{N}[/tex] e com isso concluiríamos que [tex]2002[/tex] é um múltiplo de [tex]4.[/tex] Mas
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2002 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 4 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\quad \qquad\begin{array}{r}
\qquad \textcolor{red}{2}
\end{array}\begin{array}{r}
\quad 500
\end{array}[/tex]
o que mostra que [tex]2002[/tex] NÃO é um múltiplo de [tex]4.[/tex]
Portanto, não podemos supor que existam números naturais não nulos cuja soma dos quadrados seja igual a [tex]2003[/tex], pois isso acarreta um erro.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Os esquemas multiplicativos abaixo nos mostram que o quadrado de um número natural não nulo termina necessariamente em [tex]0,1,4,5,6[/tex] ou [tex]9.[/tex]

Dessa forma, para que a soma de dois quadrados seja [tex]2003[/tex] ([tex]x^2+y^2=2003[/tex]), um dos quadrados deve terminar em [tex]4[/tex] e o outro em [tex]9.[/tex]
Para que o quadrado de um número natural termine em [tex]9[/tex], esse número deve terminar em [tex]3[/tex] ou em [tex]7[/tex], conforme mostram os esqueminhas acima; assim, podemos listar os quadrados terminados em [tex]9[/tex] que são menores do que [tex]2003[/tex], para verificar quais diferenças [tex]2003-x^2[/tex] (que sabemos que terminam em [tex]4[/tex]) são quadrados perfeitos.
Vamos lá!

Assim, não existem números naturais não nulos [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] tais que [tex]x^2+y^2=2003.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.