Aritmética da paridade – Paridade da soma e do produto
Para demonstrarmos as duas propriedades iniciais sobre paridade da soma e paridade do produto, precisamos apenas observar que:
● A soma de números naturais é sempre um número natural.
● O produto de números naturais é sempre um número natural.
Essas duas afirmações são referidas como o fechamento de [tex]\mathbb{N}[/tex] com relação à adição e à multiplicação.
Propriedades
(a) A soma de dois números naturais de mesma paridade é par.
(b) A soma de dois números naturais de paridade oposta é ímpar.
Demonstração:
(a) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais de mesma paridade.
(a1) Suponhamos, inicialmente, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam pares.
Assim, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k[/tex] e [tex]b=2t[/tex]. Dessa forma:
[tex]\qquad a+b=2k+2t=2(k+t).\qquad\qquad(i)[/tex]
Se [tex]m=k+t[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; logo, segue de [tex](i)[/tex] que
[tex]\qquad a+b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex].
Então, [tex]a+b[/tex] é par.
(a2) Suponhamos, agora, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam ímpares.
Logo, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k+1[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex]. Assim:
[tex]\qquad a+b=(2k+1)+(2t+1)=2k+2t+2=2(k+t+1).\qquad\qquad(ii)[/tex]
Se [tex]m=k+t+1[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; portanto, de [tex](ii)[/tex], vem que
[tex]\qquad a+b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex].
Portanto, [tex]a+b[/tex] é, igualmente, par.
(b) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais de paridade oposta. Assim, um desses números é par e o outro é ímpar.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a[/tex] seja par e [tex]b[/tex] seja ímpar.
Dessa forma, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex] e, com isso,
[tex]\qquad a+b=2k+(2t+1)=2(k+t)+1.\qquad\qquad(iii)[/tex]
Se [tex]m=k+t[/tex], como [tex]t[/tex] é um número natural, de [tex](iii)[/tex], temos que
[tex]\qquad a+b=2m+1[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex].
Portanto, [tex]a+b[/tex] é ímpar.
O produto de dois números naturais só será ímpar se os dois números forem ímpares.
Demonstração:
(a) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais ímpares.
Assim, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k+1[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex]. Então:
[tex]\qquad a\cdot b=(2k+1)\cdot (2t+1)=4(k\cdot t)+2k+2t+1=2(2(k\cdot t)+k+t)+1.\qquad\qquad(i)[/tex]
Se [tex]m=2(k\cdot t)+k+t[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; logo, segue de [tex](i)[/tex] que
[tex]\qquad a\cdot b=2m+1[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex].
Portanto, [tex]a\cdot b[/tex] é ímpar.
(b) Suponhamos, agora, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam números naturais, com [tex]a[/tex] par. Aqui não importa se [tex]b[/tex] é par ou ímpar: só precisamos garantir que os dois não são ímpares.
Como [tex]a[/tex] é par, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=2k[/tex]. Assim,
[tex]\qquad a\cdot b=(2k)\cdot b=2(k\cdot b).\qquad\qquad(ii)[/tex]
Se [tex]m=k\cdot b[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; portanto, de [tex](ii)[/tex], concluímos que
[tex]\qquad a\cdot b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex].
Logo, [tex]a\cdot b[/tex] é par, independente de [tex]b[/tex] ser par ou ímpar.