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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Uma decoradora vai decorar o quarto da filha de uma cliente e preparou o esboço mostrado na figura abaixo para apresentar à mãe e à filha.
O desenho será feito em uma das paredes do quarto e os lados de cada quadradinho do papel quadriculado do esboço correspondem a um comprimento real de 10cm.
Sabendo-se que para pintar o desenho na parede a decoradora fará duas demãos de um tipo especial de tinta, cujo litro permite pintar 8\,m^2, que quantidade de tinta será necessária para a decoração proposta?
Solução
Para determinarmos a quantidade de tinta que será necessária para a decoração proposta, precisaremos calcular a medida da área que será pintada e, para isso, vamos dividir o desenho em regiões cujas áreas sabemos calcular.
Existem várias maneiras de fazermos essa divisão; uma que nos parece natural é a mostrada na figura a seguir, na qual estamos supondo que os vértices de cada polígono destacado é vértice de um quadradinho da malha quadriculada.
Vale lembrar que os lados dos quadradinhos correspondem a um comprimento real de 10 \, \text{cm}.
Vamos aos cálculos.
- A_1 é a área de um triângulo com 100 \, \text{cm} de base e 20 \, \text{cm} de altura. Portanto, A_1=\dfrac{100 \times 20}{2} , ou seja, \boxed{A_1=1\,000\,\text{cm}^2}.
- A_2 é a área de um trapézio com bases medindo 20 \, \text{cm} e 40 \, \text{cm} e com altura de 20 \, \text{cm}. Com isso, A_2=\dfrac{(40 + 20) \times 20}{2} , ou seja, \boxed{A_2=600\,\text{cm}^2}.
- A_3 é a área de um quadrado com 20 \, \text{cm} de lado. Logo, A_3=20 \times 20 , ou seja, \boxed{A_3=400\,\text{cm}^2}.
- A_4 é a área de um trapézio com bases medindo 20 \, \text{cm} e 10 \, \text{cm} e com altura de 30 \, \text{cm}. Assim, A_4=\dfrac{(20 + 10) \times 30}{2} , ou seja, \boxed{A_4=450\,\text{cm}^2}.
- A_5 é a área de um terceiro trapézio. Esse com bases medindo 20 \, \text{cm} e 40 \, \text{cm} e com altura de 20 \, \text{cm}. Neste caso, A_5=\dfrac{(20 + 40) \times 20}{2} , ou seja, \boxed{A_5=600\,\text{cm}^2}.
- Por último, A_6 é a área de um paralelogramo com 20 \, \text{cm} de base e 20 \, \text{cm} de altura. Então, A_6=20 \times 20 , ou seja, \boxed{A_6=400\,\text{cm}^2}.
Dessa forma, segue que a área A a ser pintada pode ser assim calculada:
\qquad A=A_1+ A_ 2+ A_ 3+2\times A_ 4+ A_ 5+2 \times A_ 6
\qquad A=1\,000+ 600+ 400+2\times 450+ 600+2 \times 400
\qquad \boxed{A=4\,300\,\text{cm}^2} \, .
O esqueminha de conversão ao lado permite concluir que A=0,43\, m^2; mas como serão aplicadas duas demãos de tinta, isso equivale a pintar uma área total de A_t=0,86\, m^2.
Para calcular a quantidade de tinta necessária, a partir da informação de que 1 litro de tinta permite pintar 8\,m^2, utilizaremos uma regrinha de três simples.
\begin{array}{c c c} 1 \, litro &\text{————–}&8 \, \text{m}^2\\ q \, litros &\text{————–}& 0,86 \, \text{m}^2 \end{array}
Assim,
\qquad 1 \times 0,86=8 \times q \\
\qquad q=\dfrac{0,86}{8}=0,1075
e, dessa forma, vemos que serão utilizados \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,1075 \, l=107,5\,\text{ml}$} de tinta para as duas demãos na decoração proposta.
Lembre-se de que \boxed{1 \, l=1000 \, \text{ml}}.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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