(A) Problema para ajudar na escola: O esboço de uma decoração

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Uma decoradora vai decorar o quarto da filha de uma cliente e preparou o esboço mostrado na figura abaixo para apresentar à mãe e à filha.
O desenho será feito em uma das paredes do quarto e os lados de cada quadradinho do papel quadriculado do esboço correspondem a um comprimento real de $10 \, \text{cm}$.
Sabendo-se que para pintar o desenho na parede a decoradora fará duas demãos de um tipo especial de tinta, cujo litro permite pintar $8\,m^2$, que quantidade de tinta será necessária para a decoração proposta?

Solução

Para determinarmos a quantidade de tinta que será necessária para a decoração proposta, precisaremos calcular a medida da área que será pintada e, para isso, vamos dividir o desenho em regiões cujas áreas sabemos calcular.
Existem várias maneiras de fazermos essa divisão; uma que nos parece natural é a mostrada na figura a seguir, na qual estamos supondo que os vértices de cada polígono destacado é vértice de um quadradinho da malha quadriculada.
Vale lembrar que os lados dos quadradinhos correspondem a um comprimento real de $10 \, \text{cm}$.

Vamos aos cálculos.

• $A_1$ é a área de um triângulo com $100 \, \text{cm}$ de base e $20 \, \text{cm}$ de altura. Portanto, $A_1=\dfrac{100 \times 20}{2}$, ou seja, $\boxed{A_1=1\,000\,\text{cm}^2}.$
• $A_2$ é a área de um trapézio com bases medindo $20 \, \text{cm}$ e $40 \, \text{cm}$ e com altura de $20 \, \text{cm}$. Com isso, $A_2=\dfrac{(40 + 20) \times 20}{2}$, ou seja, $\boxed{A_2=600\,\text{cm}^2}.$
• $A_3$ é a área de um quadrado com $20 \, \text{cm}$ de lado. Logo, $A_3=20 \times 20$, ou seja, $\boxed{A_3=400\,\text{cm}^2}.$
• $A_4$ é a área de um trapézio com bases medindo $20 \, \text{cm}$ e $10 \, \text{cm}$ e com altura de $30 \, \text{cm}$. Assim, $A_4=\dfrac{(20 + 10) \times 30}{2}$, ou seja, $\boxed{A_4=450\,\text{cm}^2}.$
• $A_5$ é a área de um terceiro trapézio. Esse com bases medindo $20 \, \text{cm}$ e $40 \, \text{cm}$ e com altura de $20 \, \text{cm}$. Neste caso, $A_5=\dfrac{(20 + 40) \times 20}{2}$, ou seja, $\boxed{A_5=600\,\text{cm}^2}.$
• Por último, $A_6$ é a área de um paralelogramo com $20 \, \text{cm}$ de base e $20 \, \text{cm}$ de altura. Então, $A_6=20 \times 20$, ou seja, $\boxed{A_6=400\,\text{cm}^2}.$

Dessa forma, segue que a área $A$ a ser pintada pode ser assim calculada:
$\qquad A=A_1+ A_ 2+ A_ 3+2\times A_ 4+ A_ 5+2 \times A_ 6$
$\qquad A=1\,000+ 600+ 400+2\times 450+ 600+2 \times 400$
$\qquad \boxed{A=4\,300\,\text{cm}^2} \, .$
O esqueminha de conversão ao lado permite concluir que $A=0,43\, m^2$; mas como serão aplicadas duas demãos de tinta, isso equivale a pintar uma área total de $A_t=0,86\, m^2$.

Para calcular a quantidade de tinta necessária, a partir da informação de que $1$ litro de tinta permite pintar $8\,m^2$, utilizaremos uma regrinha de três simples.

$\begin{array}{c c c} 1 \, litro &\text{————–}&8 \, \text{m}^2\\ q \, litros &\text{————–}& 0,86 \, \text{m}^2 \end{array}$

Assim,
$\qquad 1 \times 0,86=8 \times q \\ \qquad q=\dfrac{0,86}{8}=0,1075$
e, dessa forma, vemos que serão utilizados $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,1075 \, l=107,5\,\text{ml}$}$ de tinta para as duas demãos na decoração proposta.
Lembre-se de que $\boxed{1 \, l=1000 \, \text{ml}}.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.