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(A) Problema para ajudar na escola: O esboço de uma decoração

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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Uma decoradora vai decorar o quarto da filha de uma cliente e preparou o esboço mostrado na figura abaixo para apresentar à mãe e à filha.
O desenho será feito em uma das paredes do quarto e os lados de cada quadradinho do papel quadriculado do esboço correspondem a um comprimento real de 10cm.
Sabendo-se que para pintar o desenho na parede a decoradora fará duas demãos de um tipo especial de tinta, cujo litro permite pintar 8m2, que quantidade de tinta será necessária para a decoração proposta?

Solução


Para determinarmos a quantidade de tinta que será necessária para a decoração proposta, precisaremos calcular a medida da área que será pintada e, para isso, vamos dividir o desenho em regiões cujas áreas sabemos calcular.
Existem várias maneiras de fazermos essa divisão; uma que nos parece natural é a mostrada na figura a seguir, na qual estamos supondo que os vértices de cada polígono destacado é vértice de um quadradinho da malha quadriculada.
Vale lembrar que os lados dos quadradinhos correspondem a um comprimento real de 10cm.

Vamos aos cálculos.

  • A1 é a área de um triângulo com 100cm de base e 20cm de altura. Portanto, A1=100×202, ou seja, A1=1000cm2.
  • A2 é a área de um trapézio com bases medindo 20cm e 40cm e com altura de 20cm. Com isso, A2=(40+20)×202, ou seja, A2=600cm2.
  • A3 é a área de um quadrado com 20cm de lado. Logo, A3=20×20, ou seja, A3=400cm2.
  • A4 é a área de um trapézio com bases medindo 20cm e 10cm e com altura de 30cm. Assim, A4=(20+10)×302, ou seja, A4=450cm2.
  • A5 é a área de um terceiro trapézio. Esse com bases medindo 20cm e 40cm e com altura de 20cm. Neste caso, A5=(20+40)×202, ou seja, A5=600cm2.
  • Por último, A6 é a área de um paralelogramo com 20cm de base e 20cm de altura. Então, A6=20×20, ou seja, A6=400cm2.

Dessa forma, segue que a área A a ser pintada pode ser assim calculada:
A=A1+A2+A3+2×A4+A5+2×A6
A=1000+600+400+2×450+600+2×400
A=4300cm2.
O esqueminha de conversão ao lado permite concluir que A=0,43m2; mas como serão aplicadas duas demãos de tinta, isso equivale a pintar uma área total de At=0,86m2.

Para calcular a quantidade de tinta necessária, a partir da informação de que 1 litro de tinta permite pintar 8m2, utilizaremos uma regrinha de três simples.

1litro————–8m2qlitros————–0,86m2

Assim,
1×0,86=8×qq=0,868=0,1075
e, dessa forma, vemos que serão utilizados 0,1075l=107,5ml de tinta para as duas demãos na decoração proposta.
Lembre-se de que 1l=1000ml.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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