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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
O esquema abaixo mostra a multiplicação entre um número de três algarismos e um número de dois algarismos.
Se cada quadradinho representa um algarismo, calcule o resultado da multiplicação.

Solução
Seja a o algarismo das unidades do número que aparece na primeira linha do esquema da nossa multiplicação.
- Observe que o primeiro produto obtido no esquema apresentado termina em 5.
a×
3
05
4
1
5
Dessa forma, o produto 3×a termina em 5 e a é um algarismo; então, a=5.
Ficamos, então, com um esquema melhor:
1_5×
3
05
4
1
5
Seja b o algarismo das dezenas do número que aparece na primeira linha do esquema da nossa multiplicação.
- No segundo passo do algoritmo da multiplicação fazemos um produto e uma soma e o número que obtemos termina em 0.
1_b5×
3
05
4
1
5
Dessa forma, o número 3×b+1 termina em 0 e sendo b um algarismo; então, b=3.
Ficamos, então, com o seguinte esquema:
1_1_35×
3
05
4
1
5
Agora, seja c o algarismo das centenas do número que aparece na terceira linha do esquema da nossa multiplicação.
- Observe que o algarismo c somado com 4 produz um número que termina em 1.
1_1_35×
3c05
4
1
5
Então, a única alternativa que temos é c=7. Com isso o número que aparece na terceira linha está completamente determinado e ficamos com este esquema:
1_1_35×
3705
4
1
5
Denotaremos por d o algarismo das centenas do número que aparece na primeira linha.
- Perceba que 3×d35=705.
d35×3705
4
1
5
Logo, d35=705÷3=235 e, portanto, d=2.
Com mais essa informação, nossa multiplicação fica assim:
235×3705
4
1
5
Vamos denotar por e o algarismo das dezenas do número da segunda linha.
- Praticamente finalizaremos o problema.
235×e37054
1
5
Observe que e×235 resulta em um número de três algarismos, cujo algarismo central é 4.
Mas só existem três múltiplos de 235 com três algarismos:
235=235×1;470=235×2;705=235×3;940=235×4.
Como podemos ver, desses, apenas o número 940 satisfaz a condição de o algarismo central ser 4. Assim, e=4 e fechamos a nossa multiplicação, já que, com essas informações, concluímos que o esquema apresentado no problema é o algoritmo da multiplicação 235×43.
235×4370594010105
Dessa forma, o resultado da multiplicação é 10105 .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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