(A) Problema para ajudar na escola: Qual é o produto?

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Solução

• Observe que o primeiro produto obtido no esquema apresentado termina em $5$.

$\begin{array}{c c c c c} & & \Box & \Box & \textcolor{red}{a}\\ & \times& & \Box & \textcolor{red}{3}\\ \hline & & \Box & 0 &\textcolor{red}{5}\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & \textcolor{red}{5} \end{array}\qquad$

Dessa forma, o produto $\textcolor{red}{3 \times a}$ termina em $\textcolor{red}{5}$ e $\textcolor{red}{ a}$ é um algarismo; então, $\textcolor{red}{a=5}.$
Ficamos, então, com um esquema melhor:

$\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c} & & & \underline{1} & \\ & & \Box & \Box & 5\\ & \times& & \Box & 3\\ \hline & & \Box & 0 & 5\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Seja $b$ o algarismo das dezenas do número que aparece na primeira linha do esquema da nossa multiplicação.

• No segundo passo do algoritmo da multiplicação fazemos um produto e uma soma e o número que obtemos termina em $0$.

$\begin{array}{c c c c c} & & & \underline{\textcolor{red}{1}} & \\ & & \Box & \textcolor{red}{b} & 5\\ & \times& & \Box & \textcolor{red}{3}\\ \hline & & \Box & \textcolor{red}{0} & 5\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Dessa forma, o número $\textcolor{red}{3 \times b+1}$ termina em $\textcolor{red}{0}$ e sendo $\textcolor{red}{ b}$ um algarismo; então, $\textcolor{red}{b=3}.$
Ficamos, então, com o seguinte esquema:

$\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c} & & \underline{1} & \underline{1} & \\ & & \Box & 3 & 5\\ & \times& & \Box & 3\\ \hline & & \Box & 0 & 5\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Agora, seja $c$ o algarismo das centenas do número que aparece na terceira linha do esquema da nossa multiplicação.

• Observe que o algarismo $c$ somado com $4$ produz um número que termina em $1.$

$\begin{array}{c c c c c} & & \underline{1} & \underline{1} & \\ & & \Box & 3 & 5\\ & \times& & \Box & 3\\ \hline & & \textcolor{red}{c} & 0 & 5\\ & \Box & \textcolor{red}{4} & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & \textcolor{red}{1} & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Então, a única alternativa que temos é $\textcolor{red}{c=7}$. Com isso o número que aparece na terceira linha está completamente determinado e ficamos com este esquema:

$\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c} & & \underline{1} & \underline{1} & \\ & & \Box & 3 & 5\\ & \times& & \Box & 3\\ \hline & & 7 & 0 & 5\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Denotaremos por $d$ o algarismo das centenas do número que aparece na primeira linha.

• Perceba que $\textcolor{red}{3 \times d35=705}$.

$\begin{array}{c c c c c} & & \textcolor{red}{d} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{5}\\ & \times& & \Box & \textcolor{red}{3}\\ \hline & & \textcolor{red}{7} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{5}\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Logo, $d35=705 \div3=235$ e, portanto, $\textcolor{red}{d=2}.$
Com mais essa informação, nossa multiplicação fica assim:

$\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c} & & 2 & 3 & 5\\ & \times& & \Box & 3\\ \hline & & 7 & 0 & 5\\ & \Box & 4 & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Vamos denotar por $e$ o algarismo das dezenas do número da segunda linha.

• Praticamente finalizaremos o problema.

$\begin{array}{c c c c c} & & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} &\textcolor{red}{ 5}\\ & \times& & \textcolor{red}{e} & 3\\ \hline & & 7 & 0 & 5\\ & \Box & \textcolor{red}{4} & \Box & & \\ \hline \Box & \Box & 1 & \Box & 5 \end{array}\qquad$

Observe que $e \times 235$ resulta em um número de três algarismos, cujo algarismo central é $\textcolor{red}{4}.$
Mas só existem três múltiplos de $235$ com três algarismos:
$\quad 235=235 \times 1\; ;\quad 470=235 \times 2\; ;\; 705=235 \times 3\; ;\; \boxed{940=235 \times \textcolor{red}{4}}\,.$
Como podemos ver, desses, apenas o número $940$ satisfaz a condição de o algarismo central ser $4$. Assim, $\textcolor{red}{e=4}$ e fechamos a nossa multiplicação, já que, com essas informações, concluímos que o esquema apresentado no problema é o algoritmo da multiplicação $235 \times 43.$

$\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c} & & 2 & 3 & 5\\ & \times& & 4 & 3\\ \hline & & 7 & 0 & 5\\ & 9 & 4 & 0 & & \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 5 \end{array}\qquad$

Dessa forma, o resultado da multiplicação é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10105$}$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.