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(A) Problema para ajudar na escola: Qual é o produto?

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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


O esquema abaixo mostra a multiplicação entre um número de três algarismos e um número de dois algarismos.
Se cada quadradinho representa um algarismo, calcule o resultado da multiplicação.

Solução


Seja a o algarismo das unidades do número que aparece na primeira linha do esquema da nossa multiplicação.

  • Observe que o primeiro produto obtido no esquema apresentado termina em 5.
  • ◻◻a×◻3◻05◻4◻◻◻1◻5

    Dessa forma, o produto 3×a termina em 5 e a é um algarismo; então, a=5.
    Ficamos, então, com um esquema melhor:

    1_◻◻5×◻3◻05◻4◻◻◻1◻5

Seja b o algarismo das dezenas do número que aparece na primeira linha do esquema da nossa multiplicação.

  • No segundo passo do algoritmo da multiplicação fazemos um produto e uma soma e o número que obtemos termina em 0.
  • 1_◻b5×◻3◻05◻4◻◻◻1◻5

    Dessa forma, o número 3×b+1 termina em 0 e sendo b um algarismo; então, b=3.
    Ficamos, então, com o seguinte esquema:

    1_1_◻35×◻3◻05◻4◻◻◻1◻5

Agora, seja c o algarismo das centenas do número que aparece na terceira linha do esquema da nossa multiplicação.

  • Observe que o algarismo c somado com 4 produz um número que termina em 1.
  • 1_1_◻35×◻3c05◻4◻◻◻1◻5

    Então, a única alternativa que temos é c=7. Com isso o número que aparece na terceira linha está completamente determinado e ficamos com este esquema:

    1_1_◻35×◻3705◻4◻◻◻1◻5

Denotaremos por d o algarismo das centenas do número que aparece na primeira linha.

  • Perceba que 3×d35=705.
  • d35×◻3705◻4◻◻◻1◻5

    Logo, d35=705÷3=235 e, portanto, d=2.
    Com mais essa informação, nossa multiplicação fica assim:

    235×◻3705◻4◻◻◻1◻5

Vamos denotar por e o algarismo das dezenas do número da segunda linha.

  • Praticamente finalizaremos o problema.
  • 235×e3705◻4◻◻◻1◻5

    Observe que e×235 resulta em um número de três algarismos, cujo algarismo central é 4.
    Mas só existem três múltiplos de 235 com três algarismos:
    235=235×1;470=235×2;705=235×3;940=235×4.
    Como podemos ver, desses, apenas o número 940 satisfaz a condição de o algarismo central ser 4. Assim, e=4 e fechamos a nossa multiplicação, já que, com essas informações, concluímos que o esquema apresentado no problema é o algoritmo da multiplicação 235×43.

235×4370594010105

Dessa forma, o resultado da multiplicação é 10105 .


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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