(A) Problema: Problema das Luzes

Clique no botão abaixo para visualizar o problema.

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Existe uma lei da Física que garante que a intensidade luminosa $I_F$ , medida em candela, que uma fonte luminosa $F$ produz sobre um ponto $Q$ , situado a uma distância $d$ de $F$ , é diretamente proporcional à potência luminosa $P$ da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância $d$ .

Considere duas fontes luminosas, situadas a uma distância de $10$ metros uma da outra, tais que a potência de uma é quatro vezes maior que a potência da outra.
Se $A$ e $B$ são pontos que representam as duas fontes, sendo $A$ o ponto que representa a fonte de maior potência, determine os pontos da reta por eles definida que sejam igualmente iluminados pelas duas fontes.

Adaptado de Álgebra – Aurélio Baldor.

Solução

Sem perda de generalidade, vamos escolher o ponto

$A$ como origem de um eixo orientado

$Ax$ cuja orientação positiva vai de

$A$ para

$B$ .

Seja $C$ um ponto da reta definida pelos pontos $A$ e $B$ igualmente iluminado pelas duas fontes e seja $x$ a sua coordenada. Desta maneira, a distância entre $A$ e $C$ será $|x|$ e a distância entre $B$ e $C$ será $|10-x|$ .
Assim, pelo princípio da Física enunciado acima, a intensidade luminosa da fonte $A$ sobre $C$ será
$\quad I_A=\mu \dfrac{4P}{|x|^2}$
e a intensidade luminosa da fonte $B$ sobre $C$ será
$\quad I_B=\mu\dfrac{P}{|10-x|^2},$
para alguma constante positiva $\mu$ .
Procuramos pelos valores de $x$ tais que $I_A=I_B$ ; assim, como $|x|^2=x^2$ e $|10-x|^2=(10-x)^2$ , temos que
$\quad \dfrac{4P}{x^2}=\dfrac{P}{(10-x)^2}.$
Vamos, então, resolver a equação $4P(10-x)^2=Px^2.$

$P$

$\qquad 4(10-x)^2=x^2$

$\qquad 4(100-20x+x^2)=x^2$

$\qquad 400-80x+4x^2=x^2$

$\qquad \boxed{3x^2-80x+400=0}.$

$\qquad \Delta=80^2-4\cdot 3 \cdot 400\\ \qquad \Delta=6400-4800=1600=40^2,$

$\quad x_1=\dfrac{80-40}{6}=\dfrac{20}{3}=6,666\cdots$

$\quad x_2=\dfrac{80+40}{6}=\dfrac{120}{6}=20.$

Assim, existem dois pontos na reta $AB$ que são igualmente iluminados pelas fontes em $A$ e $B$ : um deles se encontra entre $A$ e $B$ , aproximadamente $6,7\text{ m}$ distante de $A$ , e o outro se encontra à direita de $A$ e de $B$ , a $20\text{ m}$ de $A$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.