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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em termos gerais, a bolsa de valores é um mercado onde são negociadas, vendidas e compradas “porções” de empresas de capital aberto, as chamadas ações, além de outros investimentos, como os do mercado futuro, por exemplo commodities (café, soja, ouro, minérios, entre outros), dólar e juros. Indo um pouco além, uma ação é um título – que pode ser chamado de “papel” – emitido por uma empresa quando ela deseja levantar dinheiro. A companhia, então, abre seu capital, negociando a venda desses papéis. Na prática, quem compra ações se torna sócio e passa a partilhar, junto com os demais sócios, os resultados da empresa.
A forma de operar da bolsa de valores é muito importante para se diminuir o risco de falência.
Consideremos, por exemplo, um investidor com um capital de [tex]R$ \ 10 \ 000,00[/tex] com duas opções de investimento:
- na primeira delas ele irá investir todo o seu dinheiro em um negócio próprio com [tex]80\%[/tex] de probabilidade de sucesso e [tex]20\%[/tex] de probabilidade de falência e, no caso de sucesso, um lucro previsto de [tex]50\%[/tex];
- na segunda opção ele irá fazer [tex]10[/tex] investimentos independentes de [tex]R$ \ 1 \ 000,00[/tex] reais comprando ações na bolsa de valores de empresas com as mesmas probabilidades de sucesso de [tex]80\%[/tex] e lucros previstos de [tex]50\%[/tex] em cada um dos investimentos.
a) Sabemos que com o negócio próprio ele tem [tex]20\%[/tex] de probabilidade de falir. Com os dez investimentos separados na bolsa, qual será a probabilidade de falência?
b) Qual é a probabilidade do saldo total dos [tex]10[/tex] investimentos ser positivo?
Solução
a) Como os investimentos são independentes, o investidor irá falir quando todos os [tex]10[/tex] investimentos fracassarem, ou seja, esta probabilidade é de [tex](0,2)^{10}[/tex].
Assim, a probabilidade de ele falir com os dez investimentos é praticamente nula.
b) Se denotarmos por [tex]n[/tex] o número de investimentos bem sucedidos, ganhando [tex]500[/tex] reais em cada um, então [tex]10-n[/tex] será o número de investimentos fracassados, perdendo [tex]1000[/tex] reais em cada um. Para que o saldo seja positivo devemos ter
[tex]\qquad 500n-(10-n)1000\gt 0[/tex]
[tex]\qquad 1500n\gt 10000[/tex]
[tex]\qquad n\geq 7.[/tex]
Assim, nosso investidor sairá com saldo positivo quando:
[tex]~\rhd[/tex] Todos os [tex]10[/tex] investimentos forem bem sucedidos. Isso ocorrerá com probabilidade de [tex](0,8)^{10}[/tex].
[tex]~\rhd[/tex] [tex]9[/tex] investimentos forem bem sucedidos e [tex]1[/tex] fracassar. Isso ocorrerá com probabilidade de [tex]C_{10}^{1}\times (0,8)^{9}\times (0,2)^{1}[/tex].
[tex]~\rhd[/tex] [tex]8[/tex] investimentos forem bem sucedidos e [tex]2[/tex] fracassarem. Isso ocorrerá com probabilidade de [tex]C_{10}^{2}\times (0,8)^{8}\times (0,2)^{2}[/tex].
[tex]~\rhd[/tex] [tex]7[/tex] investimentos forem bem sucedidos e [tex]3[/tex] fracassarem. Isso ocorrerá com probabilidade de [tex]C_{10}^{3}\times (0,8)^{7}\times (0,2)^{3}[/tex].
Desta forma, a probabilidade [tex]P[/tex] de ele sair com saldo positivo é de
[tex]\qquad P=(0,8)^{10}+ C_{10}^{1}\times (0,8)^{9}\times (0,2)^{1}+C_{10}^{2}\times (0,8)^{8}\times (0,2)^{2}+C_{10}^{3}\times (0,8)^{7}\times (0,2)^{3}\\
\qquad P\approx 0,1074+0,2684+0,3020+0,2013=0,8791.[/tex]
Portanto, nosso investidor tem probabilidade de [tex]87,91\%[/tex] de sair com saldo positivo. Além disso, como verificamos no item a) que a probabilidade dele falir é muito pequena, na maioria das vezes em que ele sair com saldo negativo ele ainda recuperará parte dos [tex]R$ \ 10 \ 000[/tex] investidos.
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