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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Qual número é maior: [tex]50^{99}~[/tex] ou [tex]~99![/tex] ?
Lembrete
Desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica: Dados [tex]n[/tex] números inteiros positivos, é verdade que
[tex]\qquad \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdots \cdot x_{n}}.[/tex]
Solução
Pela desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica citada no lembrete, temos:
[tex]\quad \dfrac{1+2+3+⋯+98+99}{99}\geq \sqrt[99]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 98 \cdot 99}.[/tex]
Mas sabemos que
[tex]\quad \boxed{1+2+3+⋯+98+99= \dfrac {100 \cdot 99}{2}}~[/tex] e [tex]~\boxed{\sqrt[99]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 98 \cdot 99}=\sqrt[99]{99!}};[/tex]
assim, segue que:
[tex]\quad \dfrac{\dfrac{100 \cdot 99}{2}}{99} \geq \sqrt[99]{99!}\\
~~\\
\quad 50\geq \sqrt[99]{99!}\\
~~\\
\quad 50^{99}\geq 99!.[/tex]
Portanto, [tex]50^{99}[/tex] é maior.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.