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Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E. M.)
- Uma função [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] é dita ser par se [tex]f(-x)=f(x)[/tex], para todo valor de [tex]x[/tex], e ímpar se [tex]f(-x)=-f(x)[/tex], para todo valor de [tex]x[/tex].
Mostre que qualquer função [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.
Solução
Considere as funções
[tex]\qquad g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], dada por [tex]g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}[/tex],
e
[tex]\qquad h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], dada por [tex]h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}[/tex].
Observe que [tex]g[/tex] é uma função par, pois:
[tex]\qquad \begin{align*}g(-x)&=\dfrac{f(-x)+f(-(-x))}{2}\\
&=\dfrac{f(-x)+f(x)}{2}\\
&=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\\
&=g(x)\end{align*}[/tex]
e [tex]h[/tex] é uma função ímpar, pois:
[tex]\qquad \begin{align*}h(-x)&=\dfrac{f(-x)-f(-(-x))}{2}\\
&=\dfrac{f(-x)-f(x)}{2}\\
&=-\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}\\
&=-h(x).\end{align*}[/tex]
Além disso,
[tex]\qquad \begin{align*}g(x)+h(x)&=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}\\
&=\dfrac{2f(x)}{2}\\
&=f(x).\end{align*}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.