.Problemão: Funções Pares e Ímpares

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Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E. M.)

Uma função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é dita ser par se $f(-x)=f(x)$ , para todo valor de $x$ , e ímpar se $f(-x)=-f(x)$ , para todo valor de $x$ .

Mostre que qualquer função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Solução

Considere as funções

$\qquad g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dada por

$g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ ,
e

$\qquad h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dada por

$h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ .

Observe que $g$ é uma função par, pois:
$\qquad \begin{align*}g(-x)&=\dfrac{f(-x)+f(-(-x))}{2}\\ &=\dfrac{f(-x)+f(x)}{2}\\ &=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\\ &=g(x)\end{align*}$
e $h$ é uma função ímpar, pois:
$\qquad \begin{align*}h(-x)&=\dfrac{f(-x)-f(-(-x))}{2}\\ &=\dfrac{f(-x)-f(x)}{2}\\ &=-\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}\\ &=-h(x).\end{align*}$
Além disso,
$\qquad \begin{align*}g(x)+h(x)&=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}\\ &=\dfrac{2f(x)}{2}\\ &=f(x).\end{align*}$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.