(A) Problema para ajudar na escola: Uma pilha de tubos

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

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Seis tubos cilíndricos com $10$ cm de raio cada um e feitos com material não deformável foram empilhados. A figura abaixo mostra uma vista de frente dos cilindros.
Determine a altura aproximada da pilha, em metros, utilizando uma casa decimal.

Observação: Para efeito dos cálculos, despreze a espessura das paredes dos tubos.

Solução

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Seja $r$ a medida em centímetros dos raios dos tubos empilhados.
A figura abaixo nos mostra que se $h$ é o segundo cateto de um triângulo retângulo com um cateto e a hipotenusa com comprimentos $2r\,$ e $\, 4r\,$, respectivamente, então a altura da pilha será $\, \boxed{A_p=h+2r}\, .$

Vamos então calcular $h\,$.

• Pelo teorema de Pitágoras, segue que:
  $\qquad h^2+\left(2r\right)^2=\left(4r\right)^2$
  $\qquad h^2+4r^2=16r^2$
  $\qquad h^2=12r^2.$
  Como $h \gt 0$, pois é um comprimento, e $r=10\gt 0$ temos que
  $\qquad h=\sqrt{12}r$
  $\qquad h=10\sqrt{12}\, cm.$

Portanto,
$\qquad A_p=h+2r$
$\qquad A_p=10\sqrt{12}+2\times 10$
$\qquad A_p=10\sqrt{12}+20$
$\qquad A_p\approx 54,64\, cm$
$\qquad A_p\approx 0,5464\, m.$
Assim, a altura aproximada da pilha em metros e com uma casa decimal é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,5$}\,$, ou seja, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\text{meio metro}$}\, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.