.Probleminha: Esse número existe?

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Existe um número inteiro que:

• quando dividido por 3 deixa resto 1,
• quando dividido por 4 deixa resto 2,
• quando dividido por 5 deixa resto 3 e
• quando dividido por 6 deixa resto 4 ?

Solução 1

Chamemos de [tex]x[/tex] esse possível número.
Como [tex]x[/tex] dividido por [tex]3[/tex] tem resto [tex]1[/tex], [tex]x-1[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex]. Portanto, [tex]x[/tex] é um elemento do conjunto [tex]\{ \ldots, -5,-2, 1, 4, 7, 10, \ldots \}[/tex].

Como [tex]x[/tex] dividido por [tex]4[/tex] tem resto [tex]2[/tex], [tex]x-2[/tex] é um múltiplo de [tex]4[/tex]. Portanto, [tex]x[/tex] é um elemento do conjunto [tex]\{ \ldots, -6,-2,2, 6, 10, \ldots \}[/tex].

Como [tex]x[/tex] dividido por [tex]5[/tex] tem resto [tex]3[/tex], [tex]x-3[/tex] é um múltiplo de [tex]5[/tex]. Portanto, [tex]x[/tex] é um elemento do conjunto [tex]\{ \ldots, -7, -2, 3, 8, 13, \ldots \}[/tex].

Como [tex]x[/tex] dividido por [tex]6[/tex] tem resto [tex]4[/tex], [tex]x-4[/tex] é um múltiplo de [tex]6[/tex]. Portanto, [tex]x[/tex] é um elemento do conjunto [tex]\{ \ldots, -8, -2, 4, 10, 16, \ldots \}[/tex].

Como [tex]x[/tex] satisfaz todas as condições descritas, concluímos que [tex]x[/tex] pertence à interseção desses quatro conjuntos. Se considerarmos [tex]x[/tex] como sendo um número inteiro, podemos observar que [tex]x=-2[/tex] satisfaz todas as condições. Se considerarmos [tex]x[/tex] como um número natural, o menor valor que satisfaz todas as condições é [tex]x=58[/tex].
Logo esse número [tex]x[/tex] existe e não é único!

Solução elaborada pelo Clube MIRIM APRENDIZ, com colaboração dos Moderadores do Blog.

Solução 2

• [tex]N = 3 \times K1 + 1[/tex]
• [tex]N = 4 \times K2 + 2 [/tex]
• [tex]N = 5 \times K3 + 3[/tex]
• [tex]N = 6 \times K4 + 4[/tex]

onde [tex]K1, K2, K3[/tex] e [tex]K4[/tex] são os quocientes das respectivas divisões.
Agora, estrategicamente, vamos somar 2 em todas essas igualdades, pois desse modo os restos serão todos iguais a 0 (zero):

• [tex]2 + N = 3 \times K1 + 1 +2=3 \times(K1+1) [/tex],
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  [tex]\boxed{2 + N = 3 \times K5}[/tex];
• [tex]2 + N = 4 \times K2 + 2 +2 =4 \times(K2+1)[/tex],
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  [tex] \boxed{2 + N = 4 \times K6} [/tex];
• [tex]2 + N = 5 \times K3 + 3 +2=5 \times(K3+1) [/tex],
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  [tex]\boxed{2 + N = 5 \times K7}[/tex];
• [tex]2 + N = 6 \times K4 + 4 +2=6 \times(K4+1) [/tex],
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  [tex]\boxed{2 + N = 6 \times K8}[/tex];

onde [tex]K5, K6, K7[/tex] e [tex]K8 [/tex] são números inteiros.
Assim, podemos notar que [tex]\,N+2\,[/tex] é um número múltiplo simultaneamente de [tex]3, 4, 5[/tex] e [tex]6[/tex]. A questão apresenta, então, infinitas soluções.
Uma solução seria simplesmente o produto de todos esses números:
[tex]\qquad N+2 = 3\times 4\times 5\times 6 \\
\qquad N+2 = 360 \\
\qquad N = 360 – 2 \\
\qquad N= 358.[/tex]
Portanto, uma solução seria [tex]N = 358[/tex]. De fato, podemos constatar que:
[tex]\qquad 358 = 3 \times 119 + 1;\\
\qquad 358 = 4 \times 89 + 2;\\
\qquad 358 = 5 \times 71 + 3;\\
\qquad 358 = 6 \times 59 + 4.[/tex]

Solução elaborada pelo Clube Grupo de Matemática do IFPI-PHB.