(A) Problema: Meia-vida de um elemento químico

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Problema
(Indicado a partir do 2ª série do E. M.)

Meia-vida de um elemento químico radioativo é o tempo necessário para que a sua atividade radioativa seja reduzida à metade, isto é: partindo de uma quantidade

$q_0$ de massa radioativa, após o primeiro período de meia-vida somente a metade de

$q_0$ permanece radioativa; após o segundo período de meia-vida, somente

$\dfrac{1}{4}$ de

$q_0$ , e assim por diante.

Um dos elementos radioativos liberados em um acidente numa usina nuclear é o isótopo do estrôncio $90$ , $Sr^{90}$ , cuja meia-vida é de $28$ anos. Considere uma amostra de $30$ g desse isótopo liberado em um acidente. Determine a lei da função que relaciona a quantidade radioativa $(q)$ , em gramas, dessa amostra e o número $(n)$ de meias-vidas transcorrido a contar da data do acidente. Use essa lei para calcular o tempo necessário para que a massa radioativa desse elemento seja de $15\cdot 2^{-7}$ g.

Extraído de Matemática. Volume único. Iezzi, et al.

Solução

Observe que:

Após $1$ meia-vida existirá metade das $30$ g iniciais, ou seja, $\dfrac{30}{2}$ g.
Após mais $1$ meia-vida existirá metade do que existia após o período da primeira meia-vida, isto é, $\dfrac{30}{2^2}$ g.
Seguindo esse raciocínio, e denotando por $q_n$ a quantidade de massa radioativa restante após $n$ meias-vidas, podemos obter a lei geral $~\boxed{q_n=\dfrac{30}{2^n}\text{ gramas.}}$

Agora, já podemos determinar o número $n$ de meias-vidas necessário para que a massa radioativa $q_n$ do elemento seja de apenas $15\cdot 2^{-7}$ g. Usando a lei geral que obtivemos, segue que:
$\qquad 15\cdot 2^{-7}=\dfrac{30}{2^n}\\ \qquad 30\cdot 2^{-8}=\dfrac{30}{2^n}\\ \qquad \cancel{30}\cdot 2^{-8}=\cancel{30}\cdot 2^{-n}\\ \qquad -n=-8\\ \qquad n=8.$
Dessa forma, serão necessárias $8$ meias-vidas; e como cada meia vida do isótopo do estrôncio $90$ dura $28$ anos, o tempo necessário para que a massa radioativa do $Sr^{90}$ se reduza a $15\cdot 2^{-7}$ g será de $8\times 28=224$ anos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.