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Problema
(Indicado a partir do 2ª série do E. M.)
Meia-vida de um elemento químico radioativo é o tempo necessário para que a sua atividade radioativa seja reduzida à metade, isto é: partindo de uma quantidade [tex]q_0[/tex] de massa radioativa, após o primeiro período de meia-vida somente a metade de [tex]q_0[/tex] permanece radioativa; após o segundo período de meia-vida, somente [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] de [tex]q_0[/tex], e assim por diante.
Um dos elementos radioativos liberados em um acidente numa usina nuclear é o isótopo do estrôncio [tex]90[/tex], [tex]Sr^{90}[/tex], cuja meia-vida é de [tex]28[/tex] anos. Considere uma amostra de [tex]30[/tex] g desse isótopo liberado em um acidente. Determine a lei da função que relaciona a quantidade radioativa [tex](q)[/tex], em gramas, dessa amostra e o número [tex](n)[/tex] de meias-vidas transcorrido a contar da data do acidente. Use essa lei para calcular o tempo necessário para que a massa radioativa desse elemento seja de [tex]15\cdot 2^{-7}[/tex] g.
Extraído de Matemática. Volume único. Iezzi, et al.
Solução
Observe que:
- Após [tex]1[/tex] meia-vida existirá metade das [tex]30[/tex] g iniciais, ou seja, [tex]\dfrac{30}{2}[/tex] g.
- Após mais [tex]1[/tex] meia-vida existirá metade do que existia após o período da primeira meia-vida, isto é, [tex]\dfrac{30}{2^2}[/tex] g.
- Seguindo esse raciocínio, e denotando por [tex]q_n[/tex] a quantidade de massa radioativa restante após [tex]n[/tex] meias-vidas, podemos obter a lei geral [tex]~\boxed{q_n=\dfrac{30}{2^n}\text{ gramas.}} [/tex]
Agora, já podemos determinar o número [tex]n[/tex] de meias-vidas necessário para que a massa radioativa [tex]q_n[/tex] do elemento seja de apenas [tex]15\cdot 2^{-7}[/tex] g. Usando a lei geral que obtivemos, segue que:
[tex]\qquad 15\cdot 2^{-7}=\dfrac{30}{2^n}\\
\qquad 30\cdot 2^{-8}=\dfrac{30}{2^n}\\
\qquad \cancel{30}\cdot 2^{-8}=\cancel{30}\cdot 2^{-n}\\
\qquad -n=-8\\
\qquad n=8. [/tex]
Dessa forma, serão necessárias [tex]8[/tex] meias-vidas; e como cada meia vida do isótopo do estrôncio [tex]90[/tex] dura [tex]28[/tex] anos, o tempo necessário para que a massa radioativa do [tex]Sr^{90}[/tex] se reduza a [tex]15\cdot 2^{-7}[/tex] g será de [tex]8\times 28=224[/tex] anos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.