(A) Problema: Descobrindo a senha do celular

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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)


Para que um usuário digite o código de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado numérico, como o que aparece na figura abaixo.


Uma pessoa observa de longe o proprietário do celular e percebe que:
I) O código utilizado possui [tex]4[/tex] dígitos.
II) O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha.
III) O segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.

Calcule o número de códigos que deverão ser experimentados para que, com certeza, essa pessoa consiga desbloquear e acessar as informações desse aparelho celular.

Adaptado de IME – 2005.

AJUDAS

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se

  • uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
  • uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
  • [tex]\cdots[/tex]
  • uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas e
  • todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões (D1 e D2 e [tex]\cdots[/tex] e Dk) é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]

Princípio Aditivo: Se

  • uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
  • uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
  • [tex]\cdots[/tex]
  • uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas e
  • todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então a quantidade de maneiras em que uma das [tex]k[/tex] decisões pode ser tomada (D1 ou D2 ou [tex]\cdots[/tex] ou Dk) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + \cdots + m_k} \, .[/tex]

Solução 1


Pelas observações feitas, podemos concluir que o segundo e o terceiro dígitos não podem assumir o valor zero (pois não há linha abaixo) e o primeiro e o último dígitos não podem assumir os valores [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] (pois não há linha acima).
Assim, temos dois casos para analisar:

    1º) O primeiro e o último dígitos estão na última linha
    Assim, temos apenas uma opção para o primeiro e o último (zero), três possibilidades para o segundo ([tex]7[/tex] ou [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]) e três possibilidades para o terceiro ([tex]7[/tex] ou [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]).
    Pelo Princípio Multiplicativo, [tex]1\times 1 \times 3 \times 3 = 9[/tex] possibilidades.

    2º) O primeiro e o último dígitos estão na segunda ou terceira linha
    Assim, temos seis opções para o primeiro ([tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex], [tex]7[/tex], [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]), três para o último (mesma linha do primeiro), três possibilidades para o segundo (linha imediatamente acima) e três possibilidades para o terceiro (mesma linha do segundo).
    Pelo Princípio Multiplicativo, temos [tex]6 \times 3\times 3 \times 3=162[/tex] possibilidades.

Por fim, utilizando o Princípio Aditivo, são [tex]\boxed{162+9=171}[/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Como o primeiro e o último dígitos encontram-se em uma mesma linha e o segundo e o terceiro dígitos estão na linha imediatamente superior à linha do primeiro e do último dígitos, deve existir uma linha acima da ocupada pelo primeiro e último dígitos.
Dessa forma, temos três possibilidades para a linha ocupada pelo primeiro e último dígitos: ambos estão na segunda ou na terceira ou na última linha. Vamos analisar separadamente esses casos.

  • Primeiro e último dígitos estão na segunda linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na primeira linha
    Neste caso, temos três possibilidades para cada um dos quatro dígitos:

    [tex]\begin{array}{c c c c}
    \underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}\\
    1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
    \end{array}[/tex].

    Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{3\times 3 \times 3 \times 3=81}[/tex] modos, nestas condições.

  • Primeiro e último dígitos estão na terceira linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na segunda linha
    Neste caso, temos também três possibilidades para cada um dos quatro dígitos:

    [tex]\begin{array}{c c c c}
    \underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}\\
    1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
    \end{array}[/tex].

    Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{3\times 3 \times 3 \times 3=81}[/tex] modos, nestas condições.

  • Primeiro e último dígitos estão na quarta linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na terceira linha
    Neste caso, há apenas uma opção para o primeiro e o último dígito (zero); para cada um dos outros dois dígitos, temos três possibilidades:

    [tex]\begin{array}{c c c c}
    \underline{\text{1 possibilidade}}&\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 1 possibilidade}}\\
    1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
    \end{array}[/tex].

    Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{1\times 3 \times 3 \times 1=9}[/tex] modos, nestas condições.

Finalmente, utilizando o Princípio Aditivo, são [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+9=171$}~[/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular em questão.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

Participaram da discussão os Clubes: SUPER GÊNIOS 3°CPM ; Obmépicos ; Epifania Matemática; Pentágono do Millennium; Phidias e Geomestres Slay.

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