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Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E. M.)
No início de um experimento, um pesquisador analisou uma população com [tex]101[/tex] indivíduos. Após [tex]t[/tex] anos, a população passou a ser de [tex]181[/tex] indivíduos e, depois de [tex]t^{2}[/tex] anos da análise inicial, a população passou para [tex]6661[/tex] indivíduos.
Se a função definida por [tex]y=b^{x}+c[/tex], com [tex]b\gt 1[/tex], determina o crescimento da população após [tex]x[/tex] anos; encontre os valores de [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] e [tex]t[/tex].
Extraído de PISM I.
Solução
Sabemos que [tex]y=b^{x}+c~[/tex] é a igualdade que determina o crescimento da população após [tex]x[/tex] anos. Que informações podemos obter a partir dessa igualdade, utilizando os dados dos problemas?
Vejamos:
- Como no início do experimento ([tex]x=0[/tex]) a população analisada era de [tex]101[/tex] indivíduos, temos que:
[tex]\quad y=b^{x}+c~\\
\quad 101=b^{0}+c\\
\quad 101=1+c\\
\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=100$}\,.[/tex]
Com isso, a equação que fornece a população analisada em função do tempo transcorrido fica mais simples: [tex]y=b^{x}+100.[/tex] - Após [tex]t[/tex] anos, a população era de [tex]181[/tex] indivíduos; assim, segue que:
[tex]\quad y=b^{x}+100~\\
\quad 181=b^{t}+100\\
\quad \boxed{b^t=81}.[/tex] - As informações finais são de que após [tex]t^2[/tex] anos da análise inicial, a população passou para [tex]6661[/tex] indivíduos; assim, temos agora que:
[tex]\quad y=b^{x}+100~\\
\quad 6661=b^{t^2}+100\\
\quad b^{t^2}=6561\\
\quad b^{t\cdot t}=6561\\
\quad \left(b^t\right)^t=6561\\
\quad 81^t=6561\\
\quad 81^t=81^2\\
\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$t=2$}\,.[/tex] - Para finalizar, sabendo que [tex]t=2[/tex], vamos utilizar a igualdade [tex] b^t=81[/tex] para obtermos o valor de [tex]b[/tex], [tex]b \gt 1[/tex]:
[tex]\quad b^t=81\\
\quad b^2=81\\
\quad b^2=9^2\\
\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=9$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: Phidias ; SUPER GÊNIOS 3°CPM ; Obmépicos ; Pentágono do Millennium e Geomestres Slay.