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Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E. M.)
(Fuvest, 2012 – Adaptado) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por [tex]a_1 = x-1[/tex], [tex]a_2 = 5x[/tex], [tex]a_3 = 2x^2+1[/tex], em que [tex]x[/tex] é um número real.
a) Determine os possíveis valores de [tex]x[/tex].
b) Calcule a soma dos [tex]100[/tex] primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de [tex]x[/tex] encontrado no item a).
Lembrete
O termo geral de uma progressão aritmética (PA) [tex](a_1, a_2, \cdots)[/tex] é dado por [tex]a_n = a_1+(n-1)r[/tex], onde [tex]r[/tex] é a razão da PA, e a soma [tex]S_n[/tex] dos primeiros [tex]n[/tex] termos pode ser encontrada pela fórmula [tex]S_n = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}[/tex].
Solução
a) Seja [tex]r[/tex] a razão da progressão aritmética. Assim,
[tex]\qquad a_2-a_1 =r= a_3-a_2[/tex]
[tex]\qquad 5x-(x-1) = 2x^2+1-5x[/tex]
[tex]\qquad 2x^2-9x=0[/tex]
[tex]\qquad x(2x-9) = 0.[/tex]
Portanto, [tex]\boxed{x= 0}~[/tex] ou [tex]~\boxed{x = \dfrac{9}{2}}.[/tex]
b) Pelo lembrete, substituindo a expressão de [tex]a_n[/tex] na fórmula da soma [tex]S_n[/tex] dos [tex]n[/tex] primeiros termos da PA, obtemos
[tex]\qquad S_n = \dfrac{(a_1+a_1+(n-1)r)n}{2} = \dfrac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}[/tex].
Veja que para [tex]x=0[/tex] a razão é [tex]r = 5x-(x-1) = 1[/tex] e [tex]a_1 = 0-1 = -1[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad S_{100} = \dfrac{(2\cdot (-1)+99\cdot 1)100}{2}\\
\qquad S_{100} = 97\cdot 50 = 4850.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.