(A) Problema para ajudar na escola: Uma soma com 120 parcelas!

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )

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O Princípio Fundamental da Contagem nos ensina que existem [tex]120[/tex] números de quatro dígitos distintos formados apenas pelos algarismos [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex]. Ao somar esses [tex]120[/tex] números, obtém-se a soma [tex]S[/tex].
Qual o valor de [tex]S[/tex]?

Solução

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Vamos colocar esses [tex]120[/tex] números um debaixo do outro para somá-los.

[tex]\begin{array}{c c c c }
1&2&3&4\\
1&2&3&5\\
1&2&4&3\\
1&2&4&5\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
5&4&3&1\\
5&4&3&2\\
\hline
\end{array}\quad +[/tex]

Como são [tex]120[/tex] números, perceba que cada um dos dígitos [tex]1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5[/tex] aparecerá [tex]120 \div 5=24[/tex] vezes em cada coluna. Dessa forma, a soma dos dígitos de cada coluna será
[tex]\qquad\quad \begin{align*}1\times 24+2 \times 24+3 \times 24+4 \times 24+5 \times 24&=(1+2+3+4+5)\times24\\
&=15\times24=360.\end{align*}[/tex]
Pronto, já podemos fazer a nossa soma:

• Como a soma dos números de cada coluna é [tex]360[/tex], abaixo da coluna das unidades, colocamos [tex]\textcolor{red}{0}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{red}{36}[/tex] para a coluna das dezenas.
• Na coluna da dezenas também aparece a soma [tex]360[/tex], acrescida dos [tex]\textcolor{red}{36}[/tex] que "levamos": [tex]360+\textcolor{red}{36}=396[/tex].
  Assim, abaixo da coluna das dezenas, colocamos [tex]\textcolor{blue}{6}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{blue}{39}[/tex] para a coluna das centenas.
• Para a coluna das centenas, faremos a soma [tex]360+\textcolor{blue}{39}=399[/tex]; assim, abaixo da coluna das centenas, colocamos [tex]\textcolor{#32CD32}{9}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{#32CD32}{39}[/tex] para a coluna dos milhares.
• Finalizamos a nossa conta, fazendo uma última soma: [tex]360+\textcolor{green}{39}=399.[/tex]

[tex]\begin{array}{c c c c }
\textcolor{#32CD32}{\underline{39}}&\textcolor{blue}{\underline{39}}&\textcolor{red}{\underline{36}}&\\
1&2&3&4\\
1&2&3&5\\
1&2&4&3\\
1&2&4&5\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
5&4&3&1\\
5&4&3&2\\
\hline
399&\textcolor{#32CD32}{9} &\textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{0}&
\end{array}+[/tex]

Portanto, a soma dos [tex]120[/tex] números de quatro dígitos distintos formados apenas pelos algarismos [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=399\,960$} \, .[/tex]

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Observação: Se você não entendeu porque o enunciado garante que existem [tex]120[/tex] números de quatro dígitos distintos formados pelos cinco algarismos em questão, perceba que, se [tex]ABCD[/tex] é um número dessa forma, então [tex]A, \, B, \, C, \, D \, [/tex] são algarismos distintos e

• temos cinco escolhas possíveis para o dígito [tex]A \, [/tex];
• escolhido [tex]A \, [/tex], temos quatro escolhas possíveis para o dígito [tex]B \, [/tex];
• escolhido [tex]B \, [/tex], temos três escolhas possíveis para o dígito [tex]C \, [/tex];
• escolhido [tex]C \, [/tex], temos duas escolhas possíveis para o dígito [tex]D \, [/tex].

[tex]\qquad \begin{array}{c c c c }
A & B & C & D\\
\overline{\textcolor{#800000}{5}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{4}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{3}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{2}\text{ escolhas}}
\end{array}[/tex]

Assim, pelo princípio Fundamental da Contagem, o número de modos distintos de obtermos [tex]ABCD[/tex] é dado por [tex] \, \boxed{\textcolor{#800000}{5}\times \textcolor{#800000}{4}\times \textcolor{#800000}{3}\times \textcolor{#800000}{2}=120} \, .[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.