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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(CEFET/RJ, 2018) A biblioteca de uma escola comprou alguns livros de contos, alguns por [tex]R$ \;8,00[/tex] e outros por [tex]R$ \;4,00[/tex]. A editora estava fazendo uma promoção dando um livro para cada [tex]10[/tex] livros comprados. A biblioteca recebeu um total de [tex]273[/tex] livros pelos quais pagou [tex]R$ \;1536,00[/tex].
a) Quantos livros a biblioteca ganhou de presente da editora?
b) Dentre os livros pagos, quantos foram os de [tex]R$ \;8,00[/tex]? E os de [tex]R$ \;4,00[/tex]?
Solução
a) Seja [tex]p[/tex] o total de livros que a escola ganhou com a compra. Então, o total de livros comprados pela escola foi [tex]10p+r[/tex], para algum [tex]r[/tex], onde [tex]0\leq r\lt 10.[/tex] Assim,
[tex]\qquad (10p+r)+p = 273[/tex]
Por outro lado, observe a divisão de [tex]273[/tex] por [tex]11[/tex]:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
273 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 11 \, \, \, \\ \hline
\end{array} \qquad [/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
\, \, \, \, \, 9
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, \, 24
\end{array}[/tex]
Assim, temos que:
[tex]\qquad 11p+r = 11\times 24 +9.[/tex]
Como o quociente e o resto de uma divisão são únicos, necessariamente [tex]\boxed{p = 24}.[/tex]
b) O total de livros comprados foi [tex]273-24 = 249[/tex]. Sendo [tex]x[/tex] livros no valor de [tex]R$ \;8,00[/tex] e [tex]y[/tex] livros no valor de [tex]R$ \;4,00[/tex], temos
[tex]\qquad \begin{cases}x+y = 249\\
8x+4y = 1536
\end{cases}.[/tex]
Multiplicando a primeira equação por [tex]-4[/tex] e somando à segunda, obtemos
[tex]\qquad 4x = 1536-4\cdot 249\\
\qquad 4x = 540\\
\qquad \boxed{x = 135}. [/tex]
Substituindo o valor de [tex]x[/tex] na primeira equação do sistema, segue que:
[tex]\qquad y = 249-135\\
\qquad \boxed{y=114}.[/tex]
Logo, foram comprados [tex]135[/tex] livros de [tex]R$ \;8,00[/tex] e [tex]114[/tex] livros de [tex]R$ \;4,00[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.