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Problema
(Indicado a partir do 2ª série do E. M.)
Um jogo individual da memória contém oito cartas, sendo duas a duas iguais, conforme ilustrado a seguir.
Observe as etapas do jogo:
1. Viram-se as figuras para baixo.
2. Embaralham-se as cartas.
3. O jogador desvira duas cartas na primeira jogada.
O jogo continua se o jogador acertar um par de figuras iguais. Nesse caso, ele desvira mais duas cartas, e assim sucessivamente.
O jogador será vencedor se conseguir desvirar os quatro pares de cartas iguais em quatro jogadas seguidas. Se errar algum par, ele perde o jogo.
Calcule a probabilidade de o jogador perder o jogo.
Adaptado de UERJ- 2018.
Solução
Como todas as cartas são duas a duas iguais, podemos considerar que se trata de um experimento onde todas as cartas tem iguais chances de serem escolhidas para serem desviradas. Logo, temos um experimento equiprovável e podemos utilizar a definição de probabilidade para um espaço amostral equiprovável:
Vamos, inicialmente, calcular a probabilidade de o jogador ganhar o jogo. Para isso, vamos calcular quatro probabilidades; observe.
- O número de modos de escolher a primeira dupla de cartas que serão desviradas é dado por [tex]C_{8}^{2}=28[/tex]. Dessas, [tex]4[/tex] possibilidades garantem duas iguais. Logo, a probabilidade de o primeiro par de cartas iguais ser retirado é dado por:
[tex]\qquad P_{1}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}.[/tex] - Em seguida, o número de modos de escolher a segunda dupla de cartas que serão desviradas é dada por [tex]C_{6}^{2}=15[/tex]. Dessas, [tex]3[/tex] possibilidades garantem duas iguais. Logo, a probabilidade de o segundo par de cartas iguais ser retirado é dado por:
[tex]\qquad P_{2}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}.[/tex] - Para a terceira jogada, o número de modos de escolher duas cartas que serão desviradas é dada por [tex]C_{4}^{2}=6[/tex]. Dessas, [tex]2[/tex] possibilidades garantem duas iguais. Logo, a probabilidade de o terceiro par de cartas iguais ser retirado é dado por:
[tex]\qquad P_{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.[/tex] - Automaticamente, as duas que sobram são iguais; logo, a probabilidade de o quarto par de cartas iguais ser retirado é [tex]P_{4}=1[/tex] (evento certo).
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, a probabilidade de se acertar o primeiro par e o segundo par e o terceiro par e o quarto par pode ser calculada por:
[tex]\qquad P_{ganhar}=P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{3}\cdot P_{4}=\dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 1= \dfrac{1}{105}. [/tex]
Portanto, a probabilidade de o jogador perder o jogo é:
[tex]\qquad P_{perder}=1-\dfrac{1}{105} =\dfrac{104}{105},[/tex]
ou seja, o jogador tem, aproximadamente, [tex]99\%[/tex] de chance de perder o jogo!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.