(A) Problema: Empates

Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)

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Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto.
Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:

• Equipe 1: 20 pontos
• Equipe 2: 10 pontos
• Equipe 3: 14 pontos
• Equipe 4: 9 pontos
• Equipe 5: 12 pontos
• Equipe 6: 17 pontos
• Equipe 7: 9 pontos
• Equipe 8: 13 pontos
• Equipe 9: 4 pontos
• Equipe 10: 10 pontos.

Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.

Extraído de IME.

Solução 1

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Como cada partida é disputada por duas equipes teremos um total de [tex]\dfrac{10 \cdot 9}{2}=45[/tex] partidas.
Quando há um vencedor em uma determinada partida, são computados na tabela [tex]3[/tex] pontos para a equipe vencedora e [tex]0[/tex] para a equipe derrotada. Logo, se em todas as partidas houvesse uma vitória, o total de pontos na tabela deveria ser [tex]3 \times 45 = 135.[/tex]
Quando há um empate em uma partida, são computados na tabela [tex]2[/tex] pontos ([tex]1[/tex] para cada equipe).
Ou seja, quando ocorre um empate, é computado [tex]1[/tex] ponto a menos no total do que quando há uma equipe vencedora.
Na tabela, temos um total de [tex]20+10+14+9+12+17+9+13+4+10=118[/tex] pontos. Assim, há uma diferença de [tex]135-118=17[/tex] pontos.
Logo, houve [tex]17[/tex] empates no campeonato.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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Denotaremos por y a quantidade de empates ocorridos e por x, a quantidade de partidas com um vencedor/perdedor.
Em cada empate é somado 1 ponto para cada equipe que disputou a partida; para as partidas com um vencedor/perdedor são somados 3 pontos para o vencedor e 0 pontos para o perdedor. Com essas informações, podemos montar a seguinte equação:
3x + 2y = 118, onde 118 é a soma total de pontos de todas as equipes.
Agora, para descobrir o número de partidas que ocorreram no total, sabemos que cada time disputou uma partida com outro time uma única vez, começando com 9 partidas para a primeira equipe e diminuindo 1 para cada equipe subsequente, temos:
Equipe 1 = 9
Equipe 2 = 8
…
Equipe 9 = 1
Equipe 10 = 0.
Somando o número de partidas, temos 45 jogos disputados no total, o que nos fornece outra equação:
x + y = 45.
Considerando as duas equações, podemos resolver em forma de sistema para descobrir o valor de y, o número de jogos empatados que ocorreram:
3x+2y= 118
x+y=45.
Da segunda equação, temos:
x = 45-y.
Substituindo x na primeira equação, segue que:
3(45-y)+2y=118
-3y+135 + 2y = 118
-y=118-135
y = 17.

Portanto, dentre o total de 45 jogos nesse campeonato, tivemos 17 empates.

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Solução elaborada pelo COM Epifania Matemática.