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Problema
A equação [tex]\boxed{x^3+3x^2-2020x+1=0}[/tex] admite as raízes [tex]x_1, \, x_2[/tex] e [tex] x_3 .[/tex]
Qual o valor de [tex]\boxed{\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}}?[/tex]
AJUDA
✏ As Relações de Girard para uma equação cúbica da forma [tex]\boxed{x^3+kx^2+ lx+m=0}[/tex] garantem que, se considerarmos que [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] são as raízes dessa equação, então:
[tex]\qquad \qquad x_1+x_2+x_3=-k .[/tex]
Solução
Inicialmente, observe a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\qquad x^3+3x^2-2020x+1=0 \iff x^3+3x^2+3x+1=2023x \iff\\
\qquad (x+1)^3=2023x \iff \sqrt[3]{x}=\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{2023}}.\\
[/tex]
Dessa forma, como
- [tex]\boxed{x^3+3x^2-2020x+1=0 \iff \sqrt[3]{x}=\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{2023}}}[/tex] e
- [tex]x_1, \, x_2[/tex] e [tex] x_3 [/tex] são raízes da equação [tex]\boxed{x^3+3x^2-2020x+1=0}[/tex],
segue que:
[tex]\quad\begin{align*} \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}&=\dfrac{x_1+1}{\sqrt[3]{2023}}+\dfrac{x_2+1}{\sqrt[3]{2023}}+\dfrac{x_3+1}{\sqrt[3]{2023}}\\
&=\dfrac{\left(x_1+x_2+x_3\right)+3}{\sqrt[3]{2023}}\\
&=\dfrac{-3+3}{\sqrt[3]{2023}}=0. \end{align*}\\
[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#FFEEEF}{$\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}=0$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível B – Questão Difícil