Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
De acordo com Nostradamus (Você sabe quem foi ele? Caso não saiba ou não se recorde, pesquise e leia um pouco sobre ele), anos excepcionais são aqueles que, escritos no sistema decimal, tem a forma [tex] abcd[/tex], com [tex] ab+cd=bc[/tex].
Por exemplo, o ano [tex]1208[/tex] foi um ano excepcional pois [tex]12+08 = 20[/tex].
A partir de [tex]2014[/tex], qual será o primeiro ano excepcional?
Adaptado de 100 Math Brainteasers (Grade 7, 8, 9, 10) – Zbigniew Romanowicz e Bartholomew Dyda.
Solução
Considerando que o primeiro ano excepcional a partir de [tex]2014[/tex] seja escrito na forma [tex]abcd[/tex], das condições iniciais sabemos que [tex]ab+cd=bc[/tex] e [tex]ab ≥ 20[/tex].
Desse modo [tex]bc ≥ 20[/tex], ou seja, [tex]b ≥ 2[/tex] e, portanto, [tex]ab ≥ 22[/tex].
Como estamos procurando pelo ano excepcional mais próximo a [tex]2014[/tex], vamos substituir [tex]ab[/tex] por [tex]22[/tex] e tentar determinar uma solução.
Temos, então, [tex]22+cd=20+c[/tex]; o que é impossível, pois [tex]22+cd > 20+cd ≥ 20+c[/tex].
Concluímos, então, que [tex]ab ≥ 23[/tex].
Fazendo [tex]ab=23[/tex] temos [tex]23+cd=30+c[/tex].
Tomando o menor valor possível para [tex]c[/tex], ou seja, [tex]c=0[/tex], temos: [tex]23+d=30[/tex], ou seja, [tex]d=7[/tex].
Portanto, o próximo ano excepcional será [tex]2307[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: MIRIM APRENDIZ; Os Pitagóricos.