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Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
No baralho, denomina-se quadra um conjunto de quatro cartas de mesmo valor.
Em um jogo com dois baralhos, qual é a menor quantidade de cartas que você deve pegar para garantir pelo menos uma quadra?
Adaptado de ‘Math is Fun’ – All_Is_Number.
Solução
- Sabemos que um baralho possui 52 cartas, sendo 13 de cada naipe; qualquer carta sorteada será:
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q ou K. - Há 4 cartas de cada valor (uma de cada naipe).
Ao serem retiradas as cartas uma a uma, a pior hipótese seria de que as primeiras 39 fossem três valores de cada naipe. Ocorrendo isto, obrigatoriamente a quadragésima carta iria compor uma quadra.
No caso de serem dois baralhos, ocorre o mesmo. Mesmo que as 39 primeiras não formem uma quadra, a 40ª formará.
Logo, para ter a certeza de que formaremos pelo menos uma quadra, o mínimo que se precisa retirar são 40 cartas.
Solução elaborada pelo COM Estudantes Gabrielenses Matemáticos, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Observações
(I) O número de baralhos é irrelevante; a resposta é a mesma se um, dez ou cem baralhos forem utilizados!
(II) Esta questão tem relação com o Princípio das Casas de Pombos, na sua versão mais geral: Se tivermos [tex]m [/tex] pombos para serem colocados em [tex]n[/tex] casas, [tex]m\lt n[/tex], então pelo menos uma casa deverá conter [tex][(m-1)/n] +1[/tex] pombos, onde [tex][(m-1)/n][/tex] é a parte inteira da fração [tex](m-1)/n[/tex].
No caso deste problema, os valores são as casas (há [tex]n=13[/tex] casas!) e as cartas são os pombos (com [tex]m=40[/tex] pombos, pelo menos uma casa deverá conter [tex][(40-1)/13] +1=3+1=4[/tex] pombos). E [tex]m=40[/tex] é o menor valor para o qual isso ocorre.