Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Se somarmos os quadrados dos primeiros cem números inteiros positivos, qual será o algarismo das unidades desta soma?
E se fosse a soma dos quadrados dos primeiros cento e cinquenta números inteiros positivos, qual seria o algarismo das unidades?
Solução
Para tentar estabelecer um padrão, vamos listar os quadrados dos primeiros números inteiros positivos:
[tex] \qquad 1^2=1;\quad 2^2= 4;\quad 3^2=9;\quad 4^2=16;\quad 5^2=25;\quad 6^2=36;\quad 7^2=49;\quad 8^2=64; \\
\qquad 9^2=81;\quad 10^2=100; \quad 11^2=12\textcolor{red}{1}; \quad 12^2=14\textcolor{red}{4};\quad 13^2=16\textcolor{red}{9}; \quad 14^2=19\textcolor{red}{6};\;…[/tex]
Dessa forma, percebemos que os algarismos das unidades seguem a sequência [tex](1,4,9,6,5,6,9,4,1,0)[/tex], cuja soma dos números é
[tex]\qquad 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0= 45[/tex].
Agora, observe que de [tex] 1^2[/tex] a [tex]100^2[/tex] essa sequência de algarismos das unidades se repetirá [tex]\dfrac{100}{10}= 10[/tex] vezes; assim, o algarismo das unidades da soma [tex]1^2+2^2+3^2+…+100^2\,[/tex] será igual ao algarismo das unidades do produto [tex]10 × 45=450[/tex].
Portanto, a resposta é [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\,[/tex] (zero).
Para [tex]1^2+2^2+3^2+…+150^2[/tex] usamos o mesmo raciocínio:
[tex]\quad \quad \dfrac{150}{10}×45= 675[/tex]
e, portanto, a soma tem como algarismo das unidades o [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\,[/tex] (cinco)!!!
Solução elaborada pelo Clube Grupo de Matemática do IFPI-PHB.
Participou da discussão o Clube Grupo de Matemática do IFPI-PHB.