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Problema
(Indicado a partir do 2º série do E. M.)
Resolva a equação 4x4−ax3+bx2−cx+5=0, sabendo que todas as raízes x1,x2,x3 e x4 são reais e positivas e que x12+x24+x35+x48=1.
Extraído de Olímpiada Internacional.
Lembretes
(I) Dada uma equação algébrica ax4+bx3+cx2+dx+e=0 cujas raízes são x1,x2,x3 e x4 é válido o seguinte resultado:
x1⋅x2⋅x3⋅x4=ea (Relação de Girard).
(II) A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica; assim, dados os números reais positivos x1,x2,x3 e x4 temos:
Mais do que isso, se x1+x2+x3+x44=4√x1⋅x2⋅x3⋅x4 , então x1=x2=x3=x4.
Solução
Do enunciado, temos que x12+x24+x35+x48=1; portanto, x12+x24+x35+x484=14.
Por outro lado, dada a equação 4x4−ax3+bx2−cx+5=0, pelo Lembrete (I) , podemos afirmar que x1⋅x2⋅x3⋅x4=54.
Assim, segue que:
4√x12⋅x24⋅x35⋅x48= 4√542⋅4⋅5⋅8=4√1256=14.
Daí, concluímos que a média aritmética dos elementos x12, x24, x35 e x48 é igual à média geométrica e, portanto, pelo Lembrete (II) , temos que x12=x24=x35=x48.
Dessa forma, podemos deduzir que x2=2x1, x3=5x12 e x4=4x1.
Substituindo essas três informações na equação x1⋅x2⋅x3⋅x4=54, temos que:
x1⋅2x1⋅5x12⋅4x1=54x14=116.
Como as raízes são números reais positivos, segue que x1=12 e, com isso, x2=1, x3=54 e x4=2.
Uma observação importante é que, com os valores das raízes, podemos encontrar os valores dos coeficientes a, b e c utilizando as outras relações de Girard.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.