Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Fred e Barney adoram jogar bisca entre si. Resolvem, então, fazer uma disputa em que a pontuação é feita da seguinte forma:
☛ se um deles ganhar um jogo isolado, marca 1 ponto;
☛ se ganhar 2 jogos consecutivos, marca 3 pontos (1+2);
☛ se vencer 3 jogos seguidos, marca 6 pontos (1+2+3);
☛ se conseguir 4 jogos sem perder, recebe 10 pontos (1+2+3+4);
e assim sucessivamente.
Ao final de 9 jogos, Barney tinha ganho 5 vezes, enquanto Fred saiu vitorioso em 4 partidas. Fizeram as contas e verificaram que a pontuação dos dois era a mesma. O vencedor da sétima partida foi o Barney.
Quem ganhou cada um dos outros jogos?
Solução
Comecemos nossa análise pelo Fred. Vejamos que pontuações ele poderia ter conseguido com as suas quatro vitórias.
► 7 pontos, se foram 3 vitórias consecutivas e 1 isolada (3;1);
► 6 pontos, se as vitórias foram 2 vitórias consecutivas e mais 2 vitórias consecutivas (2;2);
► 5 pontos, se foram 2 vitórias consecutivas e 2 isoladas (2;1;1);
► 4 pontos, se foram todas vitórias isoladas (1;1;1;1).
Quanto ao Barney, com 5 vitórias, as suas pontuações possíveis são as que seguem:
► 11 pontos, se foram 4 vitórias consecutivas e 1 isolada (4;1);
► 9 pontos, se as vitórias foram 3 consecutivas e outras 2 consecutivas (3;2);
► 8 pontos, se foram 3 vitórias consecutivas e 2 isoladas (3;1;1);
► 7 pontos, se foram 2 vitórias consecutivas, mais 2 consecutivas e 1 isolada (2;2;1);
► 6 pontos, se foram 2 vitórias consecutivas e 3 isoladas (2;1;1;1);
► 5 pontos, se foram todas vitórias isoladas (1;1;1;1;1).
Como no final se registrou um empate, as pontuações têm de ser, obviamente, iguais. Neste caso, temos 3 casos possíveis de pontuação: 5, 6 ou 7 pontos.
► Comecemos por verificar se ambos os jogadores podem ter ficado com 5 pontos. Para o Barney, isso equivale a ter as vitórias isoladas (1;1;1;1;1). Assim, Fred teria de ganhar pelo menos um jogo entre cada dois do Barney, o que é impossível, pois as vitórias de Fred para 5 pontos são do tipo (2;1;1).
► Também o caso de ambos terem ficado com 6 pontos é impossível. Não é possível encaixar as vitórias de Fred para essa pontuação, que são do tipo (2;2), entre as vitórias de Barney, que são do tipo (2;1;1;1).
► Resta o caso de 7 pontos para cada um. Aqui, já é possível combinar as vitórias do Fred, que são do tipo (3;1), entre as do Barney, do tipo (2;2;1). Existem 6 casos possíveis (quais?); mas, com a informação adicional de que Barney ganhou a 7ª partida, a única possibilidade que resta para as vitórias em cada partida é dada pela seguinte sequência de vitórias:
B B F F F B B F B.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .